Global structure of solutions for differential equations of singular perturbation type and exact WKB analysis

奇异摄动型微分方程解的全局结构及精确WKB分析

基本信息

批准号：
19H01794
负责人：
竹井義次
金额：
$ 5.57万
依托单位：
Doshisha University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19H01794/
关键词：
微分方程式差分方程式完全WKB解析超幾何方程式パンルヴェ方程式ホロノミック系非遺伝性変わり点ベッセル関数時間依存シュレディンガー方程式確率微分方程式ファインマン・カッツの定理ストークス幾何仮想的変わり点ボロス係数リッカチ方程式インスタントン解ボレル総和法

项目摘要

昨年度に引き続き、新型コロナウイルス感染症の影響で外国出張が難しく、海外の研究協力者との研究連絡に支障が生じ研究計画の達成に遅れが生じた。こうした困難な状況の中、以下のような研究成果が得られた。昨年度から開始した差分方程式に対する完全WKB解析については、大学院生の伊藤駿君が、私の指導の下に、積分表示式を利用してベッセル関数の満たす差分方程式の完全WKB解析的な構造を調べた。その結果、ベッセルの差分方程式のWKB解やストークス幾何、接続公式等の構造が明らかになると共に、ストークス曲線の交点から無限本の新しいストークス曲線が現れることが見出された。さらに、竹井優美子氏（茨城高専）との共同研究では、こうした差分方程式に対する完全WKB解析が一般のホロノミック系に対する完全WKB解析の一般論にどの程度有効であるかを検証するべく、ガウスの超幾何関数とその合流型の積分表示式に対して、差分方程式の完全WKB解析の視点から隣接関係式も含めて新たな考察を加えた。一方、大学院生の山下恭平君との共同研究では、時間依存シュレディンガー方程式に対する初期値問題のWKB型の形式解と確率微分方程式の解のファインマン・カッツの定理を介した対応関係をより数学的な立場から論じ、複素熱方程式の場合と確率微分方程式がランジュバン方程式となる場合に、この対応関係が漸近展開の意味で成立することを示すことに成功した。なお、廣瀬三平氏、佐々木真二氏（共に芝浦工大）、河合隆裕氏（京大）とのホロノミック系の完全WKB解析に関する共同研究については、スプリンガー社から刊行予定の共著書の執筆に取りかかった。その中で、非遺伝性の二重変わり点に由来する微分方程式の新たな周期の構造や、それが引き起こすストークス現象に関する知見を整理することができた。来年度は、この共著書の執筆を本格化させる予定である。

延续去年的影响，新型冠状病毒的影响导致出国旅行变得困难，阻碍了与海外研究合作者的研究交流，导致研究计划延迟实现。在这种困难的情况下，取得了以下研究成果。关于差分方程的完整WKB分析，研究生Shun Ito在我的指导下，利用积分表示公式研究了贝塞尔函数满足的差分方程的完整WKB解析结构。结果，明确了贝塞尔差分方程、斯托克斯几何、连接公式等WKB解的结构，并发现从斯托克斯曲线的交点处出现了无数条新的斯托克斯曲线。此外，在与 Yumiko Takei（茨城国立工业大学）的联合研究中，我们旨在验证一般完整系统的完整 WKB 分析的一般理论中差分方程的完整 WKB 分析的有效性，我们对函数和函数添加了新的考虑因素。从完整的WKB差分方程分析的角度，得到它们的合流型积分表达式，包括邻接关系表达式。另一方面，在与研究生 Kyohei Yamashita 的联合研究中，我们通过以下公式研究了含时薛定谔方程初值问题的 WKB 型形式解与随机微分方程解之间的对应关系：从这个角度以更数学的方式讨论费曼-卡茨定理，我成功地证明了这种对应关系在复杂热方程的情况下以及随机微分方程成为朗之万方程的情况下的渐近展开意义上是正确的。关于与广濑三平、佐佐木真司（均来自芝浦工业大学）和河合贵宏（京都大学）共同研究完整系统的完整 WKB 分析，他已开始撰写一本合着的书，计划由 Springer Publishing 出版。。通过这个过程，我能够整理出关于非遗传双转折点衍生的微分方程的新周期结构以及由此引起的斯托克斯现象的知识。明年，我们计划开始认真撰写这本合着的书。