Geometric approach to the extendability of linear codes and optimal linear codes

线性码可扩展性的几何方法和最优线性码

基本信息

批准号：
20K03722
负责人：
丸田辰哉
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Osaka Metropolitan University (2022)Osaka Prefecture University (2020-2021)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

q 元体（q 個の元から成る有限体）F_q 上の長さ（符号長） n, 次元 k, 最小重み d の線形符号（[n,k,d]q 符号）が存在する限界を決定する問題は、符号理論において最も基本的な研究課題の一つであり、最適線形符号問題（Optimal Linear Codes Problem）と呼ばれる。符号の誤り訂正限界を求めるには、[n,k,d]q 符号が存在するような最小重み d の最大値 d_q(k,d) を求めれば良いが、これは [n,k,d]q 符号が存在するような長さ n の最小値 n_q(k,d) を求める問題と等価である。線形符号が拡張可能であるための条件を射影幾何の手法を用いて新たに求め、その研究によって得られた知見を活用して最適な線形符号がもつ長さの最小値を確定したり、まだ発見されていない最適な線形符号のコンピュータによる探索や構造解析等を通して、最適線形符号問題の解決を目指すのが本研究の主目的である。本年度は、主に３元体上の線形符号と q元体上の４次元線形符号の最適線形符号問題（n_3(k,d) と n_q(4,d) の決定問題）について取り組み、最小重み d が 9 を法として -2 である場合の新たな拡張定理を適用した３元線形符号の非存在証明や、符号語の重みが 16 を法として４種類しかない場合の新たな拡張定理を求めた。３元線形符号については、Griesmer 限界に達する符号が存在しないような最小重み d の最大値を求める問題にも取り組み、我々が提起した予想式について、９次元まで正しいことを証明することができた。これらの成果については、それぞれ国際学術雑誌に発表した。更に、一般の有限体上の５次元線形符号の存在限界について、韓国の研究者と共同研究を開始し、２月に招聘して今後の研究の方向性について打合せを行った。

确定q元素域（由q个元素组成的有限域）上长度（码长）n、维度k、最小权重d的线性码（[n,k,d]q码）存在的极限F_q该问题是编码理论中最基本的研究课题之一，称为最优线性码问题。求一个码的纠错极限，求最小权重d的最大值d_q(k,d)，使得[n,k,d]q个码存在；这相当于求最小值的问题；长度为 n 的值 n_q(k,d) 使得符号存在。我们将利用射影几何的方法寻找线性代码可扩展的新条件，并利用从本研究中获得的知识来确定最优线性代码的最小长度。本研究的主要目的是求解最优线性代码。通过计算机搜索和对未发现的最佳线性代码的结构分析来解决代码问题。今年主要研究3维域上的线性码和q维上的4维线性码的最优线性码问题（n_3(k,d)和n_q(4,d)的确定问题）当 d 为 -2 模 9 且码字权重为 16 时，通过应用新的扩展定理证明三进制线性码不存在。对于只有四种模数的情况，我们发现了一个新的可拓定理。关于三元线性码，我们还研究了寻找最小权重 d 的最大值的问题，使得没有代码达到 Griesmer 极限，并且能够证明我们提出的猜想在 9 维范围内都是正确的。这些成果发表在国际学术期刊上。此外，我们开始与韩国研究人员联合研究五维线性码在一般有限域上的存在极限，并于二月份邀请他们讨论未来研究的方向。