Analysis of propagation phenomena and singularity of the logarithmic diffusion equation

对数扩散方程的传播现象和奇异性分析

基本信息

批准号：
20K03708
负责人：
下條昌彦
金额：
$ 2.08万
依托单位：
Tokyo Metropolitan University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

放物型方程式の「全域解」とは任意の時刻で定義されている解である．放物型方程式は，情報散逸が伴うため，一般には負の時間方向には解けない．そのため，全域解は過去の情報を完全に含有する貴重な解である．全域解の分類作業は，非線形放物型方程式の漸近挙動を調べる強力な指針を与える．東京工業大学の柳田英二氏，大阪公立大学の物部治徳氏と，単安定の反応項をもつ対数拡散方程式の無限遠で指数的なオーダーで減衰する任意の解の挙動を完全に分類し，それらの解の漸近挙動について精密に解析した．我々はスツルムの交点数理論を用いて「全域解」の分類に関するLiouville型定理を確立し，極限集合の構造から解のダイナミクスを特徴付けるいう無限次元力学系の観点から解析を行った．論文は学術誌に掲載された(Indiana Univ. Math. Journal 71, 2022)．昨年度，研究代表者はJong-Shenq-Guo教授(Tamkang大学)と，エネルギー構造があるが比較原理が使えないような連立系の反応拡散方程式に対して，定数定常解に関わる，全域解の一般的なLiouville型定理を確立した．応用としてたとえばDucrot-Giletti-Matano(2019)らの研究で未解決になっていた，拡散係数が一般の場合の，反応拡散方程式の伝播現象の漸近挙動の問題に決着をつけた．本年度，我々はより一般の異常拡散をもつ連立放物型方程式に対してもLiouville型定理を拡張することで，分数階拡散方程式の伝播現象の漸近挙動を解明した．論文は学術誌に掲載された(Applied Math. Letters vol 133, 2022)．分数階拡散方程式では，拡散を記述する積分核が代数的なオーダーで空間減衰する．我々は指数的な減衰をする積分核に対する非局所拡散方程式に対しても，Liouville型定理を拡張している．

抛物线方程的“全局解”是任意时刻定义的解。由于信息耗散，抛物型方程通常无法在负时间方向上求解。因此，全局解是一个完全包含过去信息的有价值的解。对全局解进行分类的任务为研究非线性抛物型方程的渐近行为提供了有力的指导。我们与东京工业大学的 Eiji Yanagida 和大阪公立大学的 Harunori Mononobe 一起，将无穷大指数衰减的任意解的行为完全分类为具有单稳态反应项的对数扩散方程，并精确分析了这些解的渐近行为。。我们利用Sturm的交数理论建立了关于“全局解”分类的刘维尔型定理，并从无限维动力系统的角度进行分析，从极限集的结构来表征解的动态性。该论文发表在学术期刊上（Indiana Univ. Math. Journal 71, 2022）。去年，首席研究员与Jong-Shenq-Guo教授（淡江大学）合作，推广了与具有能量结构但比较原理不能成立的耦合反应扩散方程的恒定稳态解相关的全局解。建立了刘维尔型定理。例如，作为一个应用，我们解决了扩散系数一般时反应扩散方程的传播现象的渐近行为问题，这是 Ducrot-Giletti-Matano (2019) 等人的研究中尚未解决的问题。今年，我们通过将刘维尔型定理扩展到更一般的反常扩散联立抛物线方程，阐明了分数阶扩散方程传播现象的渐近行为。该论文发表在学术期刊（Applied Math. Letters vol 133, 2022）上。在分数阶扩散方程中，描述扩散的积分核在空间上按代数阶衰减。我们将刘维尔型定理扩展到指数衰减积分核的非局部扩散方程。