Refinement of convergence theorems of nonlinear integrals with applications to the topological properties of function spaces determined by nonlinear integrals

非线性积分收敛定理的细化及其对非线性积分确定的函数空间拓扑性质的应用

基本信息

批准号：
20K03695
负责人：
河邊淳
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Shinshu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

１．実数値可測関数全体からなる線形空間上には，非加法的測度μを用いて定義されたSugeno積分型，Choquet積分型，Ky-Fan型，Dunford-Schwartz型の球（ball）の他に，AssaとZimperが導入した距離関数を用いない球から導入された５つの位相が提案されている．この研究では，これら５つの位相を比較し，次の結果を得た．(a)μが有限ならば，これら５つの位相はすべて一致する．(b)これらの位相が第１可算公理を満たし，位相に関する収束とμ-測度収束とが同値となるための必要十分条件は，球が位相の基本近傍系となることである．(c)μが上から連続かつ上から自己連続ならば，AssaとZimperが導入した球は常に開集合となる．２．非加法的測度μによるSugeno積分を用いて定義したLorentz空間（以下ではSL空間とよぶ）の性質を調べ，次の結果を得た．(a)μが擬距離生成的かつ下から単調自己連続で性質(C)をもてば，SL空間は完備である．(b)μが擬距離生成的かつ順序連続で可算基をもてば，SL空間は可分である．(c)Lorentz型の擬距離が定める位相（以下ではSL位相という）に関して，開球が開集合となるための必要十分条件はμの上からの自己連続性，閉球が閉集合となるための必要十分条件はμの下からの自己連続性である．(d)SL位相はLorentz型の関数空間を定める際の指数によらずただ一つに定まる．(e)SL空間は，μが上から自己連続ならばT1空間，μが上から自己連続かつ擬距離生成的ならばHausdorff空間，μが自己連続ならば正則空間，μが反対称緩劣加法的ならば正規空間となる．(f)μが劣加法的ならば，SL空間は距離付け可能である．(g)μが順序連続かつ上から自己連続で緩劣加法的ならば，SL空間は開球条件を満たす線形位相空間である．

1.在由所有实值可测函数组成的线性空间上，除了使用非加性测度 μ 定义的 Sugeno 积分型、Choquet 积分型、Ky-Fan 型和 Dunford-Schwartz 型球之外，还有、五个Assa 和 Zimper 提出了从球体引入的相位，而没有引入距离函数。在本研究中，我们比较了这五个阶段并获得了以下结果。 (a) 如果 μ 是有限的，则这五个相位都匹配。 (b) 这些拓扑满足第一可数公理以及拓扑收敛和μ测度收敛等价的充要条件是球体是拓扑的基本邻域系统。 (c) 如果 μ 从上连续且从上自连续，则 Assa 和 Zimper 引入的球体始终是开集。 2.我们研究了使用非加性测度 μ 的 Sugeno 积分定义的洛伦兹空间（以下简称 SL 空间）的性质，并获得了以下结果。 (a) 如果 μ 是伪生成式、自下单调自连续，并且具有性质 (C)，则 SL 空间是完备的。 (b) 如果 μ 是伪生成式、阶连续且具有可数基数，则 SL 空间是可分的。 (c) 对于由洛伦兹型伪距确定的相位（以下简称SL相位），开球成为开集的充分必要条件是从上μ起自连续，闭球是开集闭集的充要条件是从μ以下自连续。 (d) 在定义洛伦兹型函数空间时，无论指数如何，仅确定一种 SL 拓扑。 (e) 如果 μ 是自连续的，则 SL 空间是 T1 空间；如果 μ 是自连续且伪生成自上的，则 SL 空间是 Hausdorff 空间；如果 μ 是自连续的，并且 μ 是反对称慢减法，则 SL 空间是全纯空间如果，则它是一个普通空间。 (f) 如果 μ 是次可加性的，则 SL 空间是可度量的。 (g) 如果 μ 是有序连续、自连续且缓慢可加的，则 SL 空间是满足开球条件的线性拓扑空间。