Mathematical analysis on the linear response for solutions of mean field equations

平均场方程解线性响应的数学分析

基本信息

批准号：
20K03675
负责人：
大塚浩史
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Kanazawa University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03675/
关键词：
線形応答点渦系平均場非線形楕円型方程式

项目摘要

平均場とは、離散的な存在である粒子系において、粒子数を無限大にした極限（平均場極限）に現れる粒子の連続的な分布関数のことである。平均場方程式とは、このような平均場が満たす方程式であり、粒子系が平衡状態にある場合、その多くは半線形楕円型偏微分方程式になる。線形応答とは、平衡状態にある物理系に対し、平衡状態を崩すことなく外力により摂動したとき、状態に生じる変化の外力に関するガトー微分のことである。すなわち本研究の対象は、半線形楕円型偏微分方程式の摂動問題及び摂動に関する線形化問題である。このような対象は偏微分方程式の研究として一般的だが、本研究の特色は、この一般的な対象を、平均場の由来である粒子系に遡って摂動を加え、粒子系の線形応答を求め、その線形応答の平均場極限を通して考察することにある。すなわち、粒子系から見て、粒子数を無限大にする平均場極限と摂動系のガトー微分という二つの極限操作の順序による差異の解明が、本研究の目的である。このような極限操作の順序交換の考察は解析学の標準的な問題意識だが、偏微分方程式の研究として考察された前例は少ないと思われる。一方物理学では、原子配列が不規則に揺らいだ状態が固体化した非晶質（アモルファス）に対して、類似の考察がされている。極限操作が可換になる粒子系の条件や可換にならない例は、解析学と物理学の双方に興味深い事実を与えると思われる。研究実施計画に従い、これまでの研究の精密化である平均場方程式の基礎研究を進めた。特に、平均場方程式の解の一意性に関する研究を、流体運動を記述する場合には自然だが、これまで考えられていなかった境界条件で考察することを開始した。残念ながら新規性がある結論までたどり着くことはできなかったが、問題意識を研究集会でも紹介し、研究に関する意見交換を行った。

平均场是粒子的连续分布函数，出现在作为离散实体的粒子系统中粒子数量无限的极限（平均场极限）。平均场方程是这样的平均场满足的方程，当粒子系统处于平衡状态时，大部分方程变成半线性椭圆偏微分方程。线性响应是当处于平衡状态的物理系统受到外力扰动而不打破平衡状态时，状态变化相对于外力的加托微分。即本研究的对象是半线性椭圆偏微分方程的摄动问题以及与摄动相关的线性化问题。此类对象在偏微分方程的研究中很常见，但本研究的独特之处在于，我们将这种一般对象追溯到平均场起源的粒子系统，应用扰动，并获得粒子系统的线性响应，通过其线性响应的平均场极限来考虑它。换句话说，从粒子系统的角度来看，本研究的目的是阐明取决于两个极限运算的顺序的差异：使粒子数量无穷大的平均场极限和扰动系统的加托微分。尽管考虑这种极限运算顺序的交换是分析中的标准问题，但在偏微分方程的研究中考虑它的先例似乎很少。另一方面，在物理学中，对非晶材料也进行了类似的考虑，非晶材料是原子排列不规则波动的固态。极限运算可交换的粒子系统的条件和不可交换的例子被认为为分析和物理学提供了有趣的事实。按照研究实施计划，我们开展了平均场方程的基础研究，这是对前期研究的细化。特别是，我们已经开始研究使用边界条件的平均场方程解的唯一性，这在描述流体运动时是很自然的，但迄今为止尚未被考虑。不幸的是，我们未能得出新颖的结论，但我们在研究会议上介绍了我们对问题的认识，并就研究交换了意见。