高階パンルヴェ方程式のStokes幾何とインスタントン解の構造解析

高阶Painlevé方程的Stokes几何和瞬子解的结构分析

基本信息

批准号：
20K03637
负责人：
梅田陽子
金额：
$ 2.25万
依托单位：
Josai University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は,研究目標に挙げている「Lax対をもつ非線形方程式のStokes幾何」の研究に重点を置いた. 高階パンルヴェ方程式のStokes幾何は非常に複雑であるが,4種類のパンルヴェ階層(PJ)m (J=I,II,IV,34)のStokes幾何とその付随するLax対のStokes幾何の間に共通構造（非線形の変わり点,Stokes曲線上の点で,対応するLax対のStokes幾何に退化現象が観測される)が成立する.更にこの構造は,パンルヴェ階層の解の接続問題の記述において重要な役割を果たす.「この共通構造はLax対をもつ非線形方程式が持つ普遍的性質であるか?」という問題に対し,必然的に現れる退化であると予想している．今年度は，その退化（変わり点の合流, ストークス曲線の縮退現象)の数学的背景を解明するために,4次元パンルヴェ方程式にlarge parameterを導入し,Lax対ならびに非線形の変わり点の計算を進めた.計算途中の段階だが, 変わり点同士の縮退現象について,先行研究で4種類のパンルヴェ階層に対して確かめた現象と同じ現象が起きる例を得ており,計算自体は順調である.しかし具体例を得ている段階で，統一的視点での代数構造の記述まで進められなかった.行った計算に対しても,整理が必要である．また, 2022年度秋季総合分科会(函数解析分科会特別講演) において,タイトル「A unified family of PJ-hierarchies(J=I,II,IV,34) with a large parameter」で研究成果の発表を行った．

今年，我们重点研究了“Lax对非线性方程的斯托克斯几何”，被列为研究目标。高阶Painlevé方程的斯托克斯几何极其复杂，但Painlevé层次结构有四种类型(PJ)米(J=I,II,IV,34) 的斯托克斯几何与其相关的 Lax 成对斯托克斯几何之间有一个共同的结构（非线性转折点，在斯托克斯曲线上的一点处，它退化为相应的 Lax-观察到配对斯托克斯几何现象）成立。此外，这种结构在描述 Painlevé 层次结构的解决方案的连接问题方面发挥着重要作用，我们预测这是未来将会出现的退化。今年，为了阐明这种退化（转折点合并、Stokes曲线简并现象）的数学背景，我们将在四维Painlevé方程中引入一个大参数，并进行Lax对和非线性转折点的计算虽然计算还在进行中，关于变点之间的简并现象，我们已经获得了一个例子，在之前的研究中，四种类型的 Painlevé 层次结构都出现了同样的现象，并且计算本身进行得很顺利。但是，在获得具体例子的阶段，它不可能从统一的角度来描述代数结构。所进行的计算也需要组织起来。另外，在2022年秋季综合分委会（泛函分析分委会专题讲座）上，我们以“A Unified family of PJ-hierarchies (J=I,II,IV,34) with a Large parameter”为题展示了我们的研究成果”。塔。