点付き曲面に付随する団代数とgentle代数の導来圏

与点曲面相关的群代数和温和代数的派生范畴

基本信息

批准号：
20J00410
负责人：
百合草寿哉
金额：
$ 3.08万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-24 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J00410/
关键词：
団代数 τ傾理論 Bongartz completion

项目摘要

多元環の表現論と団代数理論に関し、主に以下の2つの研究を行った。１．多元環の表現論の傾理論において、Bongartzによって与えられた、任意の部分傾加群に対しそれを因子に持つ傾加群を得る操作 (Bongartz completion) は、τ傾理論に拡張された。研究者はτ傾理論において、τ傾加群の不変量であるC行列を用いてBongartz completionの新たな特徴付けを与えた。この特徴付けを基に団代数にBongartz completionを導入し、存在性や一意性を証明した。２．団代数の生成元である団変数はfベクトル、gベクトル、cベクトルと呼ばれる不変量を持ち、変異に伴いfベクトルにも変異が定義される。また、gベクトルとcベクトルを用いたfベクトルの漸化式によって、fベクトルを再帰的に定義することができる。一方、団代数にはヤコビ代数の加群圏による圏化が存在し、団変数と“到達可能な”直既約τリジッド加群が対応し、fベクトルとそれらの次元ベクトルが一致する。また、τ傾理論においてもgベクトルとcベクトルが存在し、団代数のそれらと一致する。圏論の観点から、ヤコビ代数を含んだより大きいクラスである団傾（cluster tilted）代数に対し、gベクトルとcベクトルを用いた直既約τリジッド加群の次元ベクトルの漸化式を与えた。特に、上記のfベクトルと同じ漸化式で与えられる。応用の一つとして、Labardini-Fragosoが定義した曲面ヤコビ代数を考える。このとき、曲面ヤコビ代数の全ての直既約τリジッド加群と曲面のタグ付き曲線が一対一対応し、次元ベクトルと交点ベクトルが一致することを得た。

我主要进行了以下两项关于代数表示论和群代数理论的研究。 1.在代数表示论的梯度理论中，Bongartz给出的以任意部分梯度群为因子得到梯度群的运算（Bongartz补全）已经推广到τ梯度理论中。研究人员使用 C 矩阵给出了 Bongartz 补全的新表征，C 矩阵是 τ 梯度理论中 τ 梯度模块的不变量。基于这个表征，我们将Bongartz完备引入群代数中，并证明了它们的存在性和唯一性。 2.群变量是群代数的生成元，具有称为 f 向量、g 向量和 c 向量的不变量，并且也在 f 向量中定义了突变。此外，可以使用g向量和c向量通过f向量的递推公式来递归地定义f向量。另一方面，在群代数中，存在一个模范畴的雅可比代数范畴，其中群变量对应于“可达的”直接不可约τ刚性模，并且f向量和它们的维数向量匹配。另外，τ-梯度理论中存在g向量和c向量，它们与群代数的向量相匹配。从范畴论的角度来看，我们使用簇倾斜代数的 g 向量和 c 向量给出了不可约 τ 刚性模的维向量的递推公式，簇倾斜代数是包含雅可比代数的较大类。特别地，它由与上面的f向量相同的递推公式给出。作为一个应用，请考虑 Labordini-Fragoso 定义的表面雅可比代数。此时，我们发现曲面雅可比代数的所有直接不可约τ刚性模与曲面的标记曲线都一一对应，并且维向量和交向量匹配。