代数的サイクルの数論幾何学的研究

代数循环的算术几何研究

基本信息

批准号：
20H01791
负责人：
齋藤秀司
金额：
$ 10.98万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20H01791/
关键词：
モチーフ理論相互層

项目摘要

モチーフの理論は数論幾何学，代数幾何学における重要な研究対象である．これに大きな進展をもたらしたのがVoevodsky（2002年フィールズ賞受賞）である．Voevodskyの理論ではアフィン直線にたいするホモトピー不変性が理論の基本的前提条件であった．しかしこれは応用上本質的な制約となる．代数幾何学の様々な基本的な不変量(例えば微分形式の層)はホモトピー不変性を満たさない．当該研究では，Voevodskyのモチーフ理論を拡張し，上記の不変量や現象をも包括する新たなモチーフの理論を構築するためにVoevodskyのモチーフの理論で中核的役割をはたす「ホモトピー不変性層」を拡張する「相互層」を新たに導入した．本年度の成果は相互層の分岐理論への応用である．相互層の理論により，正標数における階数1のエタール層の暴分岐や，標数0における階数1の可積分接続の非正則な特異点をモチーフ理論的に捉えることが可能になった．相互層Fと体k上分離的滑らかなスキームUにたいし, k上の分離的スキームXとその上のカルティエ因子DでU=X-Dなるものの組(X, D)をパラメーターとするF(U)上のフィルトレーションF(X,D)⊂F(U) が定義される．F(U)がUのアーベル基本群の指標全体のなす群の場合は，このフィルトレーションは加藤-松田が定義したArtin導手を復元する．kの標数が0でF(U)がU上の階数1の接続全体の為す群の場合は，このフィルトレーションは接続の不正則数を復元する．これらの結果によりこのフィルトレーションは「相互層Fにたいするモチーフ論的分岐フィルトレーション」と呼ばれる．さらにモチーフ論的分岐フィルトレーションにたいし Zariski-Nagata型の純粋性定理を示した．またAbbes-Saitoの分岐理論の方法により定義される別のフィルトレーションと一致することも示した．

母题理论是算术几何和代数几何中的一个重要研究对象。 Voevodsky（2002 年菲尔兹奖获得者）在这一领域取得了重大进展。在沃耶夫斯基的理论中，仿射线的同伦不变性是该理论的基本前提。然而，这在应用方面是一个本质限制。代数几何的各种基本不变量（例如微分形式的滑轮）不满足同伦不变性。在这项研究中，我们扩展了Voevodsky的母题理论，通过添加“同伦不变层”，构建了一个包含上述不变量和现象的新母题理论，该层在Voevodsky的母题理论中起着核心作用，是一个新的“中间层”。 '' 已被扩展。今年的成果是对互层分岔理论的应用。互易滑轮理论使得利用母题理论能够捕获正特征中的 1 级 étard 滑轮的剧烈分叉和特征 0 中的 1 阶可积连接的不规则奇点。对于互层 F 和域 k 上的不相交平滑方案 U，我们定义 F(U )，F(X,D)⊂F(U)。如果 F(U) 是 U 的阿贝尔基本群的所有指数组成的群，则该过滤恢复了 Kato-Matsuda 定义的 Artin 导体。如果k的特征为0并且F(U)是U上的所有等级1的连接的组，则该过滤恢复不规则数量的连接。基于这些结果，这种过滤被称为“互层 F 的基序理论分叉过滤”。此外，我们提出了基序理论分岔过滤的 Zariski-Nagata 型纯度定理。我们还表明它与 Abbes-Saito 分岔理论方法定义的另一种过滤是一致的。