Geometric approach to the extendability of linear codes and optimal linear codes

线性码可扩展性的几何方法和最优线性码

基本信息

批准号：
20K03722
负责人：
丸田辰哉
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Osaka Metropolitan University (2022)Osaka Prefecture University (2020-2021)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

q 元体（q 個の元から成る有限体）F_q 上の長さ（符号長） n, 次元 k, 最小重み d の線形符号（[n,k,d]q 符号）が存在する限界を決定する問題は、符号理論において最も基本的な研究課題の一つであり、最適線形符号問題（Optimal Linear Codes Problem）と呼ばれる。符号の誤り訂正限界を求めるには、[n,k,d]q 符号が存在するような最小重み d の最大値 d_q(k,d) を求めれば良いが、これは [n,k,d]q 符号が存在するような長さ n の最小値 n_q(k,d) を求める問題と等価である。線形符号が拡張可能であるための条件を射影幾何の手法を用いて新たに求め、その研究によって得られた知見を活用して最適な線形符号がもつ長さの最小値を確定したり、まだ発見されていない最適な線形符号のコンピュータによる探索や構造解析等を通して、最適線形符号問題の解決を目指すのが本研究の主目的である。本年度は、主に３元体上の線形符号と q元体上の４次元線形符号の最適線形符号問題（n_3(k,d) と n_q(4,d) の決定問題）について取り組み、最小重み d が 9 を法として -2 である場合の新たな拡張定理を適用した３元線形符号の非存在証明や、符号語の重みが 16 を法として４種類しかない場合の新たな拡張定理を求めた。３元線形符号については、Griesmer 限界に達する符号が存在しないような最小重み d の最大値を求める問題にも取り組み、我々が提起した予想式について、９次元まで正しいことを証明することができた。これらの成果については、それぞれ国際学術雑誌に発表した。更に、一般の有限体上の５次元線形符号の存在限界について、韓国の研究者と共同研究を開始し、２月に招聘して今後の研究の方向性について打合せを行った。

确定具有长度（代码长度）n，dimensions k和最小权重的线性代码（[n，k，d] Q代码）的限制的问题是代码理论中最基本的研究主题之一，被称为最佳线性代码问题。为了找到代码的误差校正限制，我们可以计算最小重量D的最大值d_q（k，d），以使[n，k，d] q代码存在，但这等同于找到长度n的最小值n_q（k，d）的问题，使得[n，k，d] q代码存在。这项研究的主要目的是新确定线性代码可以使用投影几何技术扩展的线性代码的条件，并使用从研究中获得的知识来确定最佳线性代码的最小长度，并通过对尚未发现的最佳线性代码的计算机搜索和结构性分析来解决最佳线性代码问题。 This year, we mainly worked on the optimal linear code problem (decision problems for n_3(k,d) and n_q(4,d) of linear codes on quadrature fields), and we calculated the proof of the absence of a ternary linear code using a new extension theorem when the minimum weight d is -2 with 9 as the modulus, and a new extension theorem when the codeword weights are only 16 as the modulus.对于三元线性代码，我们还解决了找到最小重量D的最大值的问题，因此没有代码达到Griesmer限制，并且能够证明我们提出的预测公式是正确的，最高为九个维度。这些结果发表在国际学术期刊上。此外，我们开始与韩国研究人员进行合作研究，了解一般有限领域的五维线性代码的存在限制，并于2月邀请他们讨论未来研究的方向。