写像類群を用いたシンプレクティック４次元多様体の研究

利用映射类群研究辛四维流形

基本信息

批准号：
20K03613
负责人：
門田直之
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Okayama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03613/
关键词：
写像類群生成系 Lefschetz fibration シンプレクティック4次元多様体

项目摘要

（向き付け可能閉曲面の）写像類群とは、向き付け可能閉曲面の微分同相写像のアイソトピー類のなす群である。写像類群の元を写像類と呼ぶ。NielsenとThurstonにより向き付け可能閉曲面の写像類は、周期的、既約、擬アノソフの３種類に分類できることが知られている。例えば、写像類群の有名な生成元として知られるDehn twistは既約な写像類である。DehnやLickorishにより写像類群は有限個のDehn twistで生成されることが示された。その後、HumphriesによりDehn twistによる最小の生成系が与えられている。しかし、Wajnrybにより、写像類群の生成系をDehn twistに限らなければ、たった２つの元で生成できることが示された。写像類群は巡回群でないことがわかるため、２元からなる生成系は最小の生成系であることがわかる。また、閉曲面とは限らない向き付け可能な曲面の写像類群に対し、同様の結果がKorkmazや申請者などの多くの研究者によって研究されている。さて、上述で扱われた生成元は、周期的な写像類や可約な写像類であった。今年度、廣瀬進氏との共同研究により、２つの擬アノソフな写像類により写像類群が生成されることを示した。特に、種数が十分大きい時は互いに共役な2元で生成されることや、生成元としていくらでも大きな拡大度を持つものが取れることを示した。MargalitとLanierは共役な擬アノソフな写像類で生成できることを示していたが、その個数には言及していなかった。今回、廣瀬進氏との共同研究により、MargalitとLanierの結果をより精密にした結果を得たことになる。

一组映射（定向封闭表面）是一组定向闭合表面的差速器图形图的同位素。地图组的起源称为地图组。众所周知，可以将尼尔森和瑟斯顿定向的封闭表面的映射分为三种类型：周期性，不可约和伪anosov。例如，Dehn Twist（被称为映射类的著名起源）是不可还原的映射类。 Dehn和Lickorish表明，地图组是由有限数量的Dehn Twist产生的。然后，汉弗莱斯（Humphries）给出了Dehn Twist的最低生成系统。但是，wajnryb表明，除非映射的类生成系统仅限于dehn Twist，否则它只能使用两个来源生成。可以看出，映射组不是循环组，因此二元生成系统是最小的生成系统。许多研究人员（例如Korkmaz和申请人）也研究了类似的结果，用于映射不一定是封闭表面的定向表面的类别。现在，上面处理过的来源是周期性和大量地图。今年，与Susumu Hirose先生合作，我们表明地图组是由两个伪anosov地图生成的。特别是，当物种数量足够大时，它是由两个共轭元素产生的，并且已经证明它可以由任何原产能产生，并尽可能多地放大。玛格丽特（Margalit）和拉尼尔（Lanier）表明，它们可以通过共轭伪anosov地图产生，但没有提到这个数字。这次，通过与Hirose Susumu的合作研究，我们从Margalit和Lanier获得了更精确的结果。