幾何学的不変量による周期的極小曲面のモジュライ空間の研究

几何不变量引起的周期极小曲面模空间的研究

• 批准号: 20K03616
• 负责人: 庄田 敏宏
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Kansai University (2021-2022)Saga University (2020)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03616/
• 关键词: 三重周期的な極小曲面; Morse指数; 退化次数; 符号数; 三重周期極小曲面; 分岐理論; 周期的極小曲面; モジュライ空間; 三重周期的な極小曲面; Morse指数; 退化次数; 符号数; 三重周期極小曲面; 分岐理論; 周期的極小曲面; モジュライ空間

3次元ユークリッド空間内の周期的な極小曲面全体のモジュライ空間の構造を, Morse指数・退化次数・符号数という幾何学的量を用いて解読するというのが本研究課題の趣旨であった. 本年度は, 特に, 種数が4であるような3重周期的な極小曲面全体のモジュライ空間の記述を試みた. 具体的には, 1970年に結晶学者によって構成された極小曲面の幾何的量を数学的に特定したというものである. これは前課題「周期的極小曲面の安定性およびその極限の研究」の発展的研究に該当する. 実際, 前課題は種数が3の場合を考察していたのに対して, 今回はその高種数版になる.大きな困難は, Riemann面上の第二種微分の周期計算にある. 一般に, 極小曲面はRiemann面といわれている, 複素数を用いて記述される空間の特殊ケースに該当する. Riemann面には有理型微分といわれている, Riemann面上の積分の基になるものが定義でき, その有理型微分の中で留数がないという性質をもつものを第二種微分という. 上述の幾何的量を計算するには, 考察している曲面の標準ホモロジー基底を決定し, それに沿った有理型微分の積分, 即ち, 周期を計算しなければならない. 種数が高いがゆえに, 標準ホモロジー基底の特定が困難であり, さらに, 計算結果をシンプルな型にするのに技術を要する. それをすべてクリアしたというのが成果となる.また, 前前年度に実施した本研究課題に関連した研究内容が, 北海道大学が刊行している査読付き国際誌に掲載されたことも大きな成果であった.

该研究主题的目的是使用几何量（例如Morse指数，退化顺序和代码编号）在三维欧几里得空间中破译整个周期性微型表面的调节空间的结构。今年，我们试图用四个物种数量来描述整个三环微型表面的调节空间。具体而言，我们在数学上确定了晶体学家在1970年构建的微型表面的几何量。这对应于上一个问题的先进研究，“研究了周期性微型表面及其限制的稳定性”。实际上，上一期研究了第三种物种数量的情况，但是这次我们将其成为高种类版本。主要的困难在于黎曼表面上第二类差异的定期计算。通常，据说微型表面是黎曼表面。这是使用复数描述的空间的特殊情况。 Riemann表面称为理性差异，可以将其定义为Riemann表面上积分的基础，并且在理性差分之间没有分解的理性差异称为第二类差异。要计算上述几何量，必须确定所考虑的表面的标准同源性基础，以及理性差异的积分，即时期。由于物种的数量很高，因此很难识别标准同源性基础，也有必要使计算结果变得简单。结果是所有这些都已清除。此外，与上一年进行的该研究主题相关的研究内容发表在北海道大学发表的同行评审的国际杂志上。