Surface group representations and geometry of negative curvature

负曲率的曲面组表示和几何

• 批准号: 20K03610
• 负责人: 馬場 伸平
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2023-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03610/
• 关键词: 曲面群の表現; 双曲幾何学; 指標多様体; リーマン面; homogeneous spaces; holonomy representations; projective structures; hyperbolic geomegry; Riemann surfaces; 曲面群の表現; 双曲幾何学; 指標多様体; リーマン面; homogeneous spaces; holonomy representations; projective structures; hyperbolic geomegry; Riemann surfaces

曲面群と負曲率の幾何に関連した以下に述べる２つの結果を得た。これらを論文にまとめ，プレプリントとしてarXiv上で一般に公開した。また，これらの結果を研究集会などで講演した。まず３次元の多様体の分類において，双曲多様体を理解することは重要である。３次元のgeometrically finiteな双曲多様体は，理想境界のRiemann面の構造によってパラメラー付されることがよく知られている。これに類似したパラメター付を、双曲多様体のconvex core上のmeasured laminationによりできるという予想が未解決問題であるBonahonとOtalはこの予想の解決向けて，大きな貢献をしている。本年度の研究で大鹿健一氏との共同研究に別の視点から，より位相幾何学的なアプローチを与えた。特により一般のgeometrically infiniteな曲面群に既存の結果を拡張させた。次にRiemann面上の2次正則微分の空間は、有限次元の複素ベクトル空間をなす。このベクトル空間は，対応する複素射影構造のホロノミーにより，基本群のP S L(２, C)への表現空間，つまりP S L（２，C）指標多様体に真に解析的に埋め込まれている。この像はPoincare Holonomy Variety またはsl（２，C)-operと呼ばれ，双曲幾何学などの関係から重要な複素解析的部分多様体である。私は，このholonomy varieties類似をThurstonによる複素射影構造のパラメター付の観点からP S L（２，C）指標多様体に構成した。また，Thurston のパラメター付は実解析的な部分多様体を与えることから，これの複素化を行った。そのために曲面群のP S L（２，C）の直積への表現のbending変形を導入した。

下面描述的两个结果与表面组和负曲率几何形状有关。这些被编译成论文，并将其作为Arxiv的预印本公开。这些结果也在研究会议和其他活动中提出。首先，在分类三维流形时，了解双曲线歧管很重要。众所周知，三维几何有限的双曲线歧管是通过理想边界的Riemann平面的结构参数化的。波尼和奥塔尔的未解决的预测是，可以通过测量双曲线歧管的凸核上的层压层来制作类似的参数化层压，这对解决这一预测做出了重大贡献。从不同的角度来看，今年的研究为与Oshika Kenichi的合作提供了更具拓扑的方法。特别是，现有结果扩展到更通用的几何无限表面基团。然后，二次常规差分在Riemann平面上形成有限尺寸的复杂矢量空间。该矢量空间在分析中真正嵌入了基本组P S L（2，C）的表示空间，即P s L（2，c）索引索引歧管，该索引通过相应的复杂预测结构的整体性。该图像称为繁殖性载体品种或sl（2，c） - 手术器，是一个复杂的分析亚曼膜，由于关系（例如双曲线几何形状），这很重要。我从瑟斯顿（Thurston）参数化复杂的射击结构的角度将这种自律品种类比构建为p s l（2，c）索引歧管。此外，由于瑟斯顿的参数化亚策略是一个真实的分析亚策略，因此我们进行了络合。为此，引入了表面组的P S L（2，C）表达为直接产物的弯曲转换。