Study of categorificaitons of Vassiliev invariants

Vassiliev不变量的分类研究

• 批准号: 20K03604
• 负责人: 伊藤 昇
• 金额: $ 1.75万
• 依托单位: Ibaraki National College of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03604/
• 关键词: DG圏; MOYグラフ; カテゴリフィケーション; 有限型不変量; リンクホモロジー; categorification; Khovanov homology; Vassiliev invariant; Jones polynomial; TQFT; wall-crossing; カテゴリ フィケーション; Vassiliev理論; Khovanov 理論; refined Chern-Simons理論; 量子不変量; DG圏; MOYグラフ; カテゴリフィケーション; 有限型不変量; リンクホモロジー; categorification; Khovanov homology; Vassiliev invariant; Jones polynomial; TQFT; wall-crossing; カテゴリ フィケーション; Vassiliev理論; Khovanov 理論; refined Chern-Simons理論; 量子不変量

令和４年度は40回程度の勉強会を行った（分担者の吉田純（理研）および中兼啓太（ウプサラ大学））．主な成果として(1) DG圏におけるリンクホモロジーの構成，(2) MOYグラフのカテゴリフィケーションが挙げられる．(1)も(2)も現在のリンクホモロジーの精密化・一般化をしていく装置である．例えばホバノフ・ローザンスキーホモロジーは現時点で導来圏においてのみwell-definedであるような構成しかなされていないが，(1)の成果によりDG圏におけるオペレーションを伴うリンクホモロジーに一般化される．また，ホバノフ・ローザンスキーホモロジーは従来，不変性を与える証明が複雑だったため，幾何的な操作に対する分析に対する障壁があったのだが，(2)により，ポイントとなるいくつかの局所変形に対する明解な同型が得られた．上記の考察で，DG圏でRasmussenによるホンフリーホモロジーとsl_n-ホモロジーを繋ぐスペクトル系列がより精密に理解された，また上記の方法で複数の表現のカテゴリフィケーションを統一的に観察することで，バシリエフ不変量の圏論化をなす理論整備を進めている．(3) またMOYグラフの研究として gl(1|1)-Alexander多項式で３次元多様体の不変量を直接取り出す方法を新たに与え（鮑園園（東京大学）との共同研究），バシリエフ不変量とミルナー不変量の研究として多成分のガウス図式についての研究（カモンパット インタウォン（茨城高専）との共同研究），ジョーンズ多項式の係数に関するものとしてクロスキャップ数の計算自動化の研究（山田海音（茨城高専）との共同研究）を行った．また圏論化とバシリエフ不変量に関する亀山昌也（名古屋大, 当時）との共同研究を論文として出版した．

2022年，我们举行了大约40个学习课程（分享成员Yoshida Jun（Riken）和Nakakane Keita（Uppsala University））。主要结果包括（1）DG区域中链路同源性的结构，以及（2）Moy图的分类。 （1）和（2）都是完善和推广当前链路同源性的设备。例如，霍巴诺夫 - 罗桑斯基同源性目前仅在派生区域定义明确，但是（1）的结果已被推广以将同源性与DG区域的操作联系起来。此外，由于传统上提供不变性的霍巴诺夫 - 罗森斯基同源性很复杂，因此对几何操作有分析的障碍，但是（2）为某些关键的局部变形提供了明显的同构。上述考虑在更准确地说是连接Rasmussen在DG区域中连接Rasmussen的无HON同源性和SL_N-体现的光谱序列，并且通过使用上述方法对多个表达式进行分类，该理论是开发出来的，以形成Basiliev Invariants的领域。 （3）此外，作为对Moy图的研究，我们还新提供了一种方法，可以直接使用GL（1 | 1） - Alexander多项式（与Abarenen（Tokyo University）的协作研究）直接提取三维流形的不变性，作为Basiliev and Millner Invariants的研究，我们已经进行了多项研究，我们已经进行了多项研究。 Kamonpat Intawon（Ibaraki技术学院），以及一项关于计算琼斯多项式系数的跨帽数量（与Yamada Kaion（Ibaraki技术学院的协作研究））的研究。他还与Kameyama Masaya（当时的Nagoya University）发表了有关Sphere理论和Basiliev不变的论文。