ゲージ理論に関連する３次元双曲多様体の不変量

与规范理论相关的三维双曲流形不变量

基本信息

批准号：
19K21830
负责人：
大槻知忠
金额：
$ 3.99万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-06-28 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K21830/
关键词：
結び目３次元多様体不変量

项目摘要

結び目の Kashaev 不変量と双曲体積を関連づける体積予想は、量子トポロジーと双曲幾何をむすびつける懸案の予想であり、最近15年間世界的にこの分野の中心的な話題となってきた重要な予想である。筆者は、7交点以下の双曲結び目に対して、Kashaev 不変量の漸近展開を精密に計算し、その最初の項に双曲体積が現われることを証明した。これは、この結び目に対して、体積予想が証明されたことを意味する。また、３次元多様体の量子不変量の漸近展開に双曲体積が現れることを主張する「３次元多様体の体積予想」も近年定式化されており、８の字結び目を整数係数手術して得られる３次元双曲多様体に対してこの予想が成立することを筆者は証明した。これらの漸近展開は、Chern-Simons理論の非自明平坦接続における摂動展開に関連することが期待され、これと関連するとおもわれる３次元双曲多様体の 3d-index の挙動について筆者は調べており、これについて論文を執筆中である。また、筆者は量子不変量に関する著書も執筆中である。筆者は、2022年5月に数理解析研究所において研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」をハイブリッド型で開催した。この研究集会において、筆者は未解決問題集を編集した。また、この研究集会の報告集を数理研講究録として出版した。この研究集会は、筆者や研究分担者との共同研究をすすめるにあたって、また、大学院生等の若手研究者との研究交流の面からも、大変有益であった。

体积猜想涉及结的卡沙耶夫不变量和双曲体积，是连接量子拓扑和双曲几何的悬而未决的猜想，是过去15年来已成为全球该领域的中心课题的重要猜想。。作者精确计算了具有七个或更少交点的双曲结的Kashaev不变量的渐近展开，并证明了第一项出现双曲体积。这意味着这个结的体积猜想已经被证明。此外，“3维流形的体积猜想”声称在3维流形的量子不变量的渐近展开中出现双曲体积，作者近年来证明了这个猜想。对于所得的三维双曲流形来说成立。这些渐近展开预计与 Chern-Simons 理论的非平凡平面连接中的微扰展开有关，作者研究了 3 维双曲流形的 3d 指数的行为，认为与我目前正在写一篇关于这个主题的论文。作者目前还在写一本关于量子不变量的书。 2022年5月，作者在数学科学研究所召开了题为“低维拓扑的智能”的混合式研究会议。在这次研究会议上，作者整理了一系列未解决的问题。此外，本次研究会议的报告集作为《数学研究研究记录》出版。这次研究会议对于促进作者及其研究合作者的联合研究以及与研究生等年轻研究人员的研究交流非常有益。