代数的サイクルの数論幾何学的研究

代数循环的算术几何研究

基本信息

批准号：
20H01791
负责人：
齋藤秀司
金额：
$ 10.98万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20H01791/
关键词：
モチーフ理論相互層

项目摘要

モチーフの理論は数論幾何学，代数幾何学における重要な研究対象である．これに大きな進展をもたらしたのがVoevodsky（2002年フィールズ賞受賞）である．Voevodskyの理論ではアフィン直線にたいするホモトピー不変性が理論の基本的前提条件であった．しかしこれは応用上本質的な制約となる．代数幾何学の様々な基本的な不変量(例えば微分形式の層)はホモトピー不変性を満たさない．当該研究では，Voevodskyのモチーフ理論を拡張し，上記の不変量や現象をも包括する新たなモチーフの理論を構築するためにVoevodskyのモチーフの理論で中核的役割をはたす「ホモトピー不変性層」を拡張する「相互層」を新たに導入した．本年度の成果は相互層の分岐理論への応用である．相互層の理論により，正標数における階数1のエタール層の暴分岐や，標数0における階数1の可積分接続の非正則な特異点をモチーフ理論的に捉えることが可能になった．相互層Fと体k上分離的滑らかなスキームUにたいし, k上の分離的スキームXとその上のカルティエ因子DでU=X-Dなるものの組(X, D)をパラメーターとするF(U)上のフィルトレーションF(X,D)⊂F(U) が定義される．F(U)がUのアーベル基本群の指標全体のなす群の場合は，このフィルトレーションは加藤-松田が定義したArtin導手を復元する．kの標数が0でF(U)がU上の階数1の接続全体の為す群の場合は，このフィルトレーションは接続の不正則数を復元する．これらの結果によりこのフィルトレーションは「相互層Fにたいするモチーフ論的分岐フィルトレーション」と呼ばれる．さらにモチーフ論的分岐フィルトレーションにたいし Zariski-Nagata型の純粋性定理を示した．またAbbes-Saitoの分岐理論の方法により定義される別のフィルトレーションと一致することも示した．

基序的理论是数量理论几何学和代数几何学的重要研究主题。 Voevodsky（2002 Fields奖得主）为此带来了巨大进展。 In Voevodsky's theory, homotopy invariance over affine lines was a fundamental prerequisite for the theory.但是，这是应用程序的基本限制。代数几何形状中的各种基本不变性（例如，差异形式的层）不满足同型不变性。在这项研究中，为了扩展Voevodsky的主题理论，并构建了涵盖上述不变性和现象的新主题理论，我们引入了一个新的“倒数层”，它扩展了“同型不变性层”，该层在Voevodsky的主题理论中起着核心作用。今年的结果是相互层分叉理论的应用。相互层的理论使得eTal层的暴力分支的理论基序具有秩1的正值，而在0度量中，等级1的可集成连接的非正规奇异性。对于相互层F和身体K上的平滑，可分离的方案u，定义了f（x，d）的过滤f（x，d）⊂f（u），在f（u）上定义了u = x-d（x，d）的集合作为参数。如果F（U）是由U的Abelian基本组的整个指数组成的组，则该过滤会恢复由Kato-Matsuda定义的ARTIN指南。如果k的分母为0，而f（u）是所有连接组的组，而等级1上方是u，则此过滤将恢复无效的连接数。这些结果将这种过滤称为“基于基序的分支过滤F的相互层F”。此外，对于基序理论分支过滤，我们显示了Zariski-Nagata型纯度定理。它还表明，它与Abbes-Saito分支理论方法定义的另一种过滤一致。