Development, evolution, and new development of stochastic analysis of infinite particle systems

无限粒子系统随机分析的发展、演变和新发展

基本信息

批准号：
21H04432
负责人：
長田博文
金额：
$ 26.46万
依托单位：
Chubu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-05 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

KPZ普遍クラスに属する可解モデルを有限温度自由フェルミオンに関連付けて解析する新手法を開発し、半無限KPZ系の新しい明示公式を得た。半無限KPZ系に対する揺らぎの極限分布を決定した。１次元対称排他過程の大偏差を、古典可積分系との関係を用いて決定する論文を出版した。その後この手法を他の初期条件や他のモデルの解析に応用する研究を進めた。ソフトエッジ型極限の方程式の導出のため、Deift達の漸近評価を適用し、相関関数等の精密な一様な評価を導き、有限粒子系から無限粒子系への収束を示した。2次元球面上に spherical ensemble を考えるとランダム行列の固有値として得られる行列式点過程の一般化が得られ、点の数を無限大にする極限で、ベッセル関数によって表現される相関核を持つ行列式点過程に収束する。同様の問題をコンパクトリーマン多様体上の行列式点過程で設定して、接空間上に指数写像で引き戻した行列式点過程が、同様の普遍的な行列式点過程に収束することを示した。相互作用粒子系の相分離現象を解明し、分離境界面の運動として平均曲率運動、ホイヘンスの原理の導出を行った。また特異な確率偏微分方程式の長時間挙動について調べた。これらの成果は、国際数学者会議で報告した。エルミート行列に値をもつブラウン運動の場合、その固有値過程は固有ベクトル過程と独立に議論することが出来る。これに対して、非エルミートな場合には、固有ベクトルの汎関数である overlap 行列の時間発展と固有値過程とが結合する。非エルミート行列値ブラウン運動に対して定義される正規化された Fuglede-Kadison行列式の時間発展に伊藤解析を適用した。この行列式の対数微分から、固有値やoverlap 行列の対角成分の重みをもった固有値の経験分布の時間発展系を導出した。また、それらの平均値に対して偏微分方程式系を導出した。

我们开发了一种新方法来分析与有限温度自由费米子相关的 KPZ 通用类可解模型，并获得了半无限 KPZ 系统的新显式公式。确定了半无限KPZ系统波动的极限分布。我发表了一篇论文，其中使用与经典可积系统的关系来确定一维对称排斥过程的大偏差。随后，我们继续研究将该方法应用于其他初始条件和其他模型的分析。为了推导软边型极限方程，我们应用Deift等人的渐近求值，推导了相关函数的精确一致求值等，并展示了从有限粒子系统到无限粒子系统的收敛性。如果我们考虑二维球面上的球系综，我们可以得到行列式点过程的推广，作为随机矩阵的特征值，并且在点数无限的限制下，我们可以得到一个矩阵由贝塞尔函数表示的相关核收敛到方程点过程。紧致黎曼流形上的行列式点过程也设置了类似的问题，结果表明，通过指数映射拉回切线空间的行列式点过程收敛于类似的通用行列式点过程。我们阐明了相互作用的粒子系统的相分离现象，并推导了平均曲率运动和惠更斯原理作为分离界面的运动。我们还研究了奇异随机偏微分方程的长期行为。这些结果在国际数学家大会上报告。对于埃尔米特矩阵中的布朗运动的情况，其特征值过程可以独立于特征向量过程进行讨论。另一方面，在非厄米特情况下，重叠矩阵（特征向量的函数）的时间演化与特征值过程是耦合的。 Ito 分析应用于为非厄米矩阵值布朗运动定义的归一化 Fuglede-Kadison 行列式的时间演化。从这个行列式的对数微分，我们推导出特征值经验分布的时间演化系统，其权重为特征值和重叠矩阵的对角分量。我们还推导了其平均值的偏微分方程组。