Towards a deeper understanding of K-stability

更深入地了解 K 稳定性

基本信息

批准号：
20K14321
负责人：
齋藤俊輔
金额：
$ 1.5万
依托单位：
Tokyo University of Science
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

ケーラー幾何の中心的な問題である「標準ケーラー計量の存在問題」と関連して、偏極代数多様体の幾何学的不変式論の意味での安定性がいくつか提案されている。本研究の目的の一つは、複数あるK安定性の強化概念や漸近的Chow安定性などの相互関係を明確に理解することである。今年度はトーリック多様体に関する安定性について研究を行い、次の研究成果を得た。（１）昨年度に偏極トーリック多様体におけるK安定性と漸近的Chow安定性の研究を新田泰文氏と行い、漸近的Chow半安定性の障害が消えている偏極トーリック曲面において極大代数的トーラスに関する同変（一様）K準安定性が漸近的Chow準安定性を導くことを示した。今年度に改めて議論の検討をしたところ、証明にギャップが見つかったため修正を行った。この修正による主結果への影響は無い。（２）トーリックFano多様体の相対K不安定性には四ッ谷-Zhouによる多面体的な判定法がある。この判定法を適用する前に確認するべき条件があることを新田泰文氏と発見した。3次元の一部と4次元の多様体合わせて130個に対してこの条件を確認したところ、四ッ谷-Zhouの判定法が適用できる可能性があるのは2個のみであることがわかった。この内容をまとめた論文はKodai Mathematical Journalに掲載される。（３）YaoによればトーリックFano多様体が一様相対Ding安定か否かはその満渕定数によって完全に判定できる。四ッ谷直仁氏・新田泰文氏と共同で2, 3, 4次元のトーリックFano多様体の満渕定数をすべて求めた。応用として、すべてのケーラー類に端的計量を許容するが相対Ding不安定であるようなトーリックFano多様体が3次元と4次元にあることを発見した。この内容をまとめた論文は European Journal of Mathematicsに掲載された。

结合凯勒几何的中心问题“标准凯勒度量的存在问题”，提出了几种几何不变量理论意义上的极化代数簇的稳定性理论。本研究的目的之一是清楚地理解 K 稳定性和渐近 Chow 稳定性的多重强化概念之间的相互关系。今年，我们对复曲面流形的稳定性进行了研究，并取得了以下研究成果。 (1) 去年，我与 Yasufumi Nitta 一起研究了极化环面流形中的 K 稳定性和渐近 Chow 稳定性，发现最大代数表明环面的等变（均匀）K 亚稳定性导致渐近 Chow 亚稳定性。当我们今年重新考虑这个论点时，我们发现了证明中的漏洞并进行了修改。此修改对主要结果没有影响。 (2) Yotsuya-Zhou 提出了一种用于解决环面 Fano 流形的相对 K 不稳定性的多面体确定方法。我和新田康文发现，在应用这种判断方法之前，有一些条件需要确认。当我们检查总共 130 个 3D 和 4D 流形的这一条件时，我们发现 Yotsuya-Zhou 测试方法只能应用于其中的 2 个。总结此内容的论文将发表在 Kodai Mathematical Journal 上。 (3)按照Yao的观点，复曲面Fano簇是否一致相对Ding稳定可以完全由其Manbuchi常数决定。我们与 Naohito Yotsuya 和 Yasufumi Nitta 合作，计算了 2、3 和 4 维环面 Fano 流形的所有 Mitsubuchi 常数。作为一个应用，我们发现存在三维和四维的环面 Fano 流形，允许所有 Kähler 类的边缘度量，但相对不稳定。一篇总结研究结果的论文发表在《欧洲数学杂志》上。