Spectral theory for unitary operators and its applications to scattering theory

酉算子谱理论及其在散射理论中的应用

基本信息

批准号：
20K14327
负责人：
森岡悠
金额：
$ 2.41万
依托单位：
Ehime University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

量子力学に関連する数理モデル、特にシュレーディンガー方程式と量子ウォークに対する時間定常的な散乱理論では、要所にユニタリ作用素が現れる。散乱波に含まれる散乱行列は、あるコンパクト多様体上のヒルベルト空間におけるユニタリ作用素である。離散時間量子ウォークの時間発展作用素は、シフト作用ととコイン作用素からなるユニタリ作用素で記述される。いずれの場合も、散乱理論の立場から、ユニタリ作用素のスペクトルの構造を明らかにすることを目的として研究を進める。今年度は、量子ウォークの研究に関して以下の成果を得た。(1)ある特殊な多次元量子ウォークを用いて、ハミルトン系に従う古典力学的粒子がなす軌道の類似物を定義した。これにより、閉軌道を持つ量子ウォークは必ず固有値を持つことを確認した。これはボーア-ゾンマーフェルトの量子化条件に対応するものとみることができる。さらに、閉軌道に対して摂動を行うことにより、閉軌道に由来する固有値であったものが共鳴極へと連続的に移行することを確認した。より一般に、非透過可能な障壁によって完全な閉じ込めが生じる量子ウォークに対する摂動を用いて、元の系の固有値の近傍に共鳴極が現れることを示した。(2)有限な範囲で摂動を持つ量子ウォークの定常状態に対し、その摂動中に残留する状態が実際にどの位置に分布するのかを一定の条件下で詳しく調べた。その結果、状態が持つ擬エネルギーが摂動中の連続スペクトルの(i)内点かつその中心付近、(ii)内点かつ端点付近、(iii)端点、(iv)外部の4つの場合で大きく挙動が分かれることが明らかになった。物理的には、(i)高エネルギー、(ii)低エネルギー、(iii)閾値、(iv)ポテンシャル障壁を越えるトンネル効果に相当し、直観を裏付ける結果となっている。

在与量子力学相关的数学模型中，特别是在薛定谔方程和量子行走的时间平稳散射理论中，酉算子出现在关键点上。散射波所包含的散射矩阵是某个紧流形上希尔伯特空间中的酉算子。离散时间量子行走的时间演化算子由由移位操作和硬币算子组成的酉算子描述。无论哪种情况，我们都将从散射理论的角度进行研究，旨在阐明酉算子谱的结构。今年，我们在量子行走研究方面获得了以下成果。 (1) 使用特殊的多维量子行走，我们定义了遵循哈密顿系统的经典机械粒子的轨迹的模拟。这证实了具有闭合轨道的量子行走总是具有特征值。这可以看作对应于玻尔-索末菲量子化条件。此外，通过扰动闭合轨道，我们证实了源自闭合轨道的特征值不断向共振极点移动。更一般地说，我们通过对量子行走的扰动来证明谐振极出现在原始系统的特征值附近，该量子行走完全被不可渗透的屏障所限制。 (2) 对于在有限范围内具有扰动的量子行走的稳态，我们在一定条件下详细研究了扰动期间剩余的状态的实际分布。因此，状态的赝能量在扰动期间连续谱的四种情况下表现显着：（i）在内点和其中心附近，（ii）在内点和端点附近，（iii））在终点，（iv）在外面，很明显他们是分裂的。从物理上讲，这对应于穿过（i）高能、（ii）低能、（iii）阈值和（iv）势垒的隧道效应，并且该结果支持直觉。