シャドウによる3次元・4次元多様体の幾何構造の研究

利用阴影研究3D和4D流形的几何结构

基本信息

批准号：
20K14316
负责人：
直江央寛
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Chuo University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

昨年度より継続していた2次元結び目のシャドウに関する研究について，証明の精査を行った．さらに，特殊シャドウ複雑度に関する考察を深めた．この研究に関する論文の執筆を完了し，査読付国際誌に投稿した．また，4次元多様体の不変量である Kirby-Thompson 不変量についての研究を行った．Kirby-Thompson 不変量は，4次元多様体を表示するためのトライセクション図式と呼ばれる曲面上の曲線族のある種の複雑さを用いて定義される．浅野喜敬氏，小川将輝氏とともに，Kirby-Thompson 不変量に関するいくつかの不等式を証明した．具体的に，Kirby-Thompson 不変量は整数値の不変量であるため，その値が固定した整数以下であるという状況下でハンドル分解の条件を導き，そこから Kirby-Thompson 不変量の下界を与えた．また，Kirby-Thompson 不変量の値と曲線族の交叉行列の変形の間に関係を見出し，1次ホモロジー群が有限な場合にその位数によって Kirby-Thompson 不変量の下界を与えることができた．これにより，Kirby-Thompson 不変量は上に非有界であることが示せた．さらに，非零の Kirby-Thompson 不変量をもつ4次元多様体とその値について，初めて具体的な例を与えることができた．これらの内容をまとめた論文を執筆し，査読付国際誌に投稿した．上記の研究については，研究集会等で報告を行った．さらに，2次元結び目のシャドウ複雑度，(橋) トライセクション，その種数などの間の関係についても考察を行った．

我们检查了自去年以来一直在进行的二维结阴影研究的证据。此外，我们加深了对特殊阴影复杂性的考虑。我完成了关于这项研究的论文并将其提交给同行评审的国际期刊。我们还对柯比-汤普森不变量进行了研究，它是四维流形的不变量。柯比-汤普森不变量是使用称为三等分图的曲面上的一系列曲线的一定复杂性来定义的，以表示四维流形。他与浅野喜孝和小川正辉一起证明了有关柯比-汤普森不变量的几个不等式。具体来说，由于 Kirby-Thompson 不变量是整数值的不变量，因此我们推导出该值小于或等于固定整数的条件下句柄分解的条件，并由此给出 Kirby-Thompson 不变量的下界汤普森不变量。我们还发现了Kirby-Thompson不变量的值与曲线族交集矩阵变形之间的关系，并且当一阶同调群有限时，我们能够给出Kirby-Thompson的下界其顺序不变。这表明柯比-汤普森不变量是向上无界的。此外，我们第一次能够给出具有非零柯比-汤普森不变量及其值的 4 维流形的具体示例。我写了一篇论文总结了这些内容，并将其提交给了一家经过同行评审的国际期刊。上述研究成果已在研究会议等上进行了报告。此外，我们还考虑了二维结、（桥）三等分的阴影复杂性及其亏格之间的关系。