数論幾何学におけるコホモロジーの研究

算术几何中的上同调研究

• 批准号: 20K14284
• 负责人: 越川 皓永
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K14284/
• 关键词: p進Hodge理論; プリズマティックコホモロジー; 対数的幾何; 志村多様体; 局所対称空間; 保型表現; 被覆群; 超ケーラー多様体; 局所Langlands対応; K3曲面; Hodge標準予想; p進Ｈodge理論; 数論幾何学; コホモロジー

整p進Hodge理論の研究を進めた。Zijian Yao氏と共同研究してきた対数的プリズマティックコホモロジーについての基礎的な部分の論文の執筆が概ね完了した。また、関連する話題として、プリズマティックコホモロジーのサイクル類やPoincare双対、対数的設定での係数理論やスタック的アプローチといった事項についてもいくつかの考察を行った。昨年度に証明したユニタリ志村多様体の捩れ係数コホモロジーのCaraiani-Scholze型の消滅定理を背景に、より一般的な主張を研究した。まず、古典群の局所対称空間の有理係数コホモロジーに対して、近年の保型表現の研究（ArthurやMokによる保型表現やその局所的場合のより精密な研究）を応用することで、類似の消滅定理を証明した。ここまでの研究はすべて、ある有限素点である意味でHecke作用が「一般的」という仮定を課した場合のものであったが、この条件を外した時にどうあるべきかを更に考察し、いくつかの結果や予想を得て、引き続き研究中である（部分的にSug Woo Shin氏との共同研究）。Fargues-Scholzeによる局所Langlands対応の幾何化を被覆群に対しても実行する研究を開始した（Tony Feng氏、Ildar Gaisin氏、今井直毅氏、Yifei Zhao氏と共同）。まず、被覆群についてのZhaoの研究をFargues-Scholzeの設定で上手く用いることができることを見出した。超ケーラー多様体のコホモロジーについて研究した（伊藤和広氏、伊藤哲史氏、高松哲平氏と共同）。複素数体上の場合に、退化とモノドロミーについての永井氏による予想が近年研究されている。そこで、p進体上の類似を考え、Galois群の作用から定まるモノドロミーについて永井予想と同様の主張を研究した。

我们一直在研究P-Advanced Hodge理论。我通常已经完成了有关对数棱镜共同体的撰写基础，我一直在与Zijian Yao合作。我们还讨论了一些相关的主题，例如棱镜共同体学周期，庞加罗二重奏，对数环境中的系数理论以及堆叠的方法。我们研究了我们去年证明的单一Shimura歧管的扭转系数共同体的Caraiani-Scholze式歼灭定理的背景。首先，通过应用有关构成表达式的最新研究（Arthur和Mok及其本地案例对构成表达式的更精确研究）的最新研究证明了类似的歼灭定理）与古典群体中局部对称空间的合理系数共同体。到目前为止，所有研究都是在将Hecke的效应是“一般”的假设上，因为它是一个有限的观点，但是我们已经进一步考虑了省略这种条件时应该是什么，并且我们已经获得了一些结果和预测，并且正在继续研究（与Sug Woo Shin进行了部分协作研究）。我们已经开始了一项研究，以在封面组上使用Fargues-Scholze（与Tony Feng，Ildar Gaisin，Imai Naoki和Yifei Zhao的合作）进行当地兰格兰兼容的几何形状。首先，我们发现Zhao对覆盖组的研究可以在Fargues-Scholze环境中很好地使用。我们研究了Superkohler歧管（与Ito Kazuhiro，Ito Tetsushi和Takamatsu tetsuhei的合作）的共同体学。近年来，已经研究了Nagai关于复杂领域的变性和单片的预测。因此，考虑到P-Advanced领域的相似之处，我们研究了与Nagai对由Galois组效应确定的单层的预测相同的论点。

项目成果

K3曲面の自己積のHodge標準予想

K3面自积的Hodge标准猜想

• 发表时间: 2022
• 作者: 川島朋也;木村司;篠原一光;Kato Masaki;越川皓永
• 通讯作者: 越川皓永

CM liftings of surfaces over finite fields and their applications to the Tate conjecture

有限域上曲面的 CM 提升及其在泰特猜想中的应用

• DOI: 10.1017/fms.2021.24
• 发表时间: 2021
• 期刊: Forum of Mathematics, Sigma
• 作者: Ito Kazuhiro;Ito Tetsushi;Koshikawa Teruhisa
• 通讯作者: Koshikawa Teruhisa

University of Chicago(米国)

芝加哥大学（美国）

Vanishing theorems for the mod p cohomology of some simple Shimura varieties

一些简单 Shimura 簇的 mod p 上同调的消失定理

• DOI: 10.1017/fms.2020.36
• 发表时间: 2020
• 期刊: Forum of Mathematics, Sigma
• 作者: Ito Kazuhiro;Ito Tetsushi;Koshikawa Teruhisa;中島規博;Yota Shamoto;竹島康博;Yu Yang;Yuki Irie;竹島康博;Yusuke Nakajima;嘉幡貴至，川島朋也;中島 規博;社本陽太;入江佑樹;Yasuhiro Takeshima;Koshikawa Teruhisa
• 通讯作者: Koshikawa Teruhisa

ユニタリ型志村多様体のコホモロジーの消滅定理

酉 Shimura 流形上同调的消失定理

• 发表时间: 2021
• 作者: 越川皓永