情報理論と作用素論における不等式の解析的研究

信息论和算子理论不等式的分析研究

基本信息

批准号：
21K03341
负责人：
古市茂
金额：
$ 2.25万
依托单位：
Nihon University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

情報理論および作用素論に関する不等式の研究成果として主に次の結果を得た．(1)作用素平均の差の特異値に関する不等式を得た．得られた結果はこれまでに知られていた結果を改善または補間するものとなった．また，特異値不等式以外にも幾つかの行列不等式を得た．(2)作用素測地的凸と作用素凸対数関数を導入しこれらに関する幾つかの性質を特徴付けた．これらの関数のクラスを適用してこれまでに知られていた結果を拡張した作用素Aczel不等式およびMinkowski型の不等式を示した．(3)Zou-Jiangnの不等式を一般化したYoungの不等式を改善した．重み付き算術平均と幾何平均を用いて対数平均の上界を与えた．得られた本質的なスカラー不等式を基礎として，Zou-Jiangnの不等式の一般形を与えた．すなわち，重みのパラメータを用いた作用素相対エントロピーを用いた作用素不等式を証明した．最後に，Tsallis作用素相対エントロピーによって，さらに一般化された作用素不等式を与えた．(4)情報理論において対数和不等式は基本的な道具であり相対エントロピーの非負性を与えるものである．2つの関数を含む対数和不等式を示した．パラメータ拡張された対数和不等式も併せて示した．まず，これらの結果を可換な行列に対して拡張した．加えて，レヴナーの半順序とHansen-Pedersen理論を非可換な半正定値行列に対して用いることによって，スカラーの対数和不等式と類似した幾つかの行列不等式を証明した．(5)Hilbert空間上における2つの正作用素に対するスペクトル幾何平均に対して新しい不等式を証明した．ここで得られた結果は幾何平均に対する多くの知られた不等式を補完するものである．特に，スペクトル幾何平均と幾何平均の明示的な比較を示した．スペクトル幾何平均に対してAndo型の不等式を示した．

通过对信息论和算子理论相关的不等式的研究，我主要得到了以下结果。 (1) 得到关于算子均值之差的奇异值的不等式。获得的结果改进或插入了先前已知的结果。除了奇异值不等式之外，我们还得到了几个矩阵不等式。 (2)介绍了算子测地凸性和算子凸对数函数，并刻画了它们的一些性质。通过应用这些类函数，我们展示了算子 Aczel 不等式和 Minkowski 型不等式，它们扩展了先前已知的结果。 (3)改进了杨氏不等式，它是邹江不等式的推广。使用加权算术平均值和几何平均值给出对数平均值的上限。基于所得到的本质标量不等式，我们给出了Zou-Jiangn不等式的一般形式。也就是说，我们使用权重参数使用算子相对熵证明了算子不等式。最后，我们使用 Tsallis 算子相对熵给出了更广义的算子不等式。 (4) 在信息论中，对数和不等式是提供相对熵非负性的基本工具。显示了涉及两个函数的对数和不等式。还显示了参数扩展对数和不等式。首先，我们将这些结果扩展到交换矩阵。此外，利用Levner的偏序和非交换正半定矩阵的Hansen-Pedersen理论，我们证明了几个类似于标量对数和不等式的矩阵不等式。 (5) 我们证明了希尔伯特空间上两个正算子的谱几何平均值的一个新的不等式。这里获得的结果补充了许多已知的几何平均值不等式。特别是，给出了光谱几何平均值和几何平均值之间的明确比较。显示了谱几何平均值的安藤型不等式。