シュレディンガー問題の数値解析

薛定谔问题的数值分析

基本信息

批准号：
21K03364
负责人：
中野張
金额：
$ 1.5万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究課題では，シュレディンガー問題と呼ばれる，初期分布と終端分布が固定されたブラウン粒子の中で最も起こりやすい時間発展を求める問題の数値解法について研究している．本年度の研究では，一般の拡散過程の分布法則を事前分布として採用した場合のシュレディンガー問題について，シュレディンガー・システムと呼ばれる連立偏微分方程式を用いずに近似解を求めるアルゴリズムを導出した．既存の数値解法では，シュレディンガー・システムを数値的に解いた後，h-path過程と呼ばれる確率微分方程式を構成する必要があった．この方法では初期分布と終端分布の両方の密度関数の情報を必要とし，さらにその積分も計算する必要があるため，応用例は限定的になってしまうという問題点があった，提案手法はシュレディンガー・システムを直接利用しない解法であり，経験分布の情報のみが必要で，さらに，事前分布である拡散過程の推移確率の情報も必要ないため，広範囲の応用が期待できる．特に，最近の画像生成に用いられる拡散モデルでは，シュレディンガー問題から派生して生まれた逆拡散過程の理論が使われており，本研究の提案手法を画像生成問題へ応用させることを検討中である．現在は，これまで得られた理論的成果のまとめ，近似解の収束の数学的証明，応用例の選定，および数値実験の準備を行なっている．これらの成果のまとめを今年度行われる複数の国際学会にて発表する予定である.

在这个研究项目中，我们正在研究薛定谔问题的数值解，这是最有可能的具有固定初始和终端分布的布朗粒子的时间演化。在今年的研究中，我们推导了一种称为薛定谔系统的算法，在不使用联立偏微分方程的情况下，采用一般扩散过程的分布规律作为先验分布时，找到薛定谔问题的近似解。现有的数值求解方法中，对薛定谔系统进行数值求解后，需要构造一个称为h路径过程的随机微分方程。该方法需要初始分布和终端分布的密度函数信息，还需要计算其积分，存在应用数量限制的问题 - 是一种不直接使用系统的求解方法。，并且仅需要经验分布的信息，并且不需要扩散过程的转移概率的信息，这是先验分布，因此可以预期具有广泛的应用。特别是，最近用于图像生成的扩散模型使用从薛定谔问题导出的逆扩散过程理论，我们目前正在考虑将本研究中提出的方法应用于图像生成问题。目前，我们正在总结迄今为止获得的理论成果，从数学上证明近似解的收敛性，选择应用实例，并准备数值实验。我们计划在今年的多个国际学术会议上总结这些成果。