Lie 群構造をもつ非線形発展方程式の可解性の解明

具有李群结构的非线性演化方程的可解性阐明

• 批准号: 21K03333
• 负责人: 岡 康之
• 金额: $ 2万
• 依托单位: Daido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03333/
• 关键词: stratified Lie 群; 半線形熱方程式; 初期値問題; 時間大域解; 小さな初期値; ソボレフ空間; 一意存在性; 非線形熱方程式; 非線形発展方程式; 局所可解性

本研究課題はstratified Lie 群（以下SLG）の性質が偏微分方程式の解の性質に対し、どのように関係しているのかを解明することを目的にしている。研究期間初年度に得られた結果は、SLGに付随する非線形熱方程式の初期値問題に対するソボレフの尺度劣臨界の空間における解の一意存在性に関する結果であり、ユークリッド空間におけるRiabudの結果をSLGへ拡張するものであった。その結果を考察すると、SLGの特性の１つである伸縮変換（dilation）に関する非等方性の情報は等質次元の中に組み込まれ、ソボレフの尺度臨界指数として現れていた。そのため、尺度臨界におけるユークリッド空間上の結果もSLG上へ一般化可能ではないかと予想された。そこで本研究期間の2年目はSLGに付随する非線形熱方程式の初期値問題に対して、ソボレフの尺度臨界な空間における解の一意存在性の解明を試みた。その結果として、尺度臨界指数が正かつ2以下の場合に、尺度臨界空間における十分小さな初期値に対し、時間大域的可解性を得ることが出来た。空間の条件である正かつ2以下の場合の尺度臨界空間における尺度臨界な空間においては、ソボレフの埋め込み定理を用いてルベーグ空間における尺度臨界な空間で議論が可能になる。そのため、劣臨界（研究初年度）における非線形項の評価の際に生じた、SLGが内在する非可換性に起因した難しさは現れず、ユークリッド空間のときと同様にSLGでも大域解の一意存在を示すことができた。この結果はユークリッド空間におけるRiboudの結果のSLGへの一般化になっている。この結果をまとめた論文を査読付き雑誌に投稿済みである。

该研究项目的目的是阐明分层李群 (SLG) 的性质与偏微分方程解的性质之间的关系。研究第一年获得的成果是关于附加在SLG上的非线性热方程初值问题在Sobolev尺度亚临界空间中唯一存在解的结果，并将Riabud在欧几里得空间中的结果进行了转移这是SLG的一个扩展。考虑到结果，发现有关膨胀的各向异性信息（SLG 的特征之一）被纳入均匀维度中，并作为 Sobolev 尺度临界指标出现。因此，预计欧氏空间的尺度临界性结果也可以推广到 SLG。因此，在本研究期的第二年，我们试图阐明与 SLG 相关的非线性热方程初值问题在 Sobolev 尺度临界空间中解的唯一存在性。结果，当尺度临界指数为正且小于 2 时，我们能够获得尺度临界空间中足够小的初始值的时间全局可解性。在空间条件为正且小于或等于 2 的尺度临界空间中，可以使用索博列夫嵌入定理在勒贝格空间中的尺度临界空间中论证。因此，在次临界（研究的第一年）中评估非线性项时出现的SLG固有的不可交换性所带来的困难并没有出现，并且与欧几里得空间的情况一样，SLG也有一个独特的全局解。能够展现我的存在。这个结果是欧几里德空间中吕布结果到SLG 的推广。总结这些结果的论文已提交给同行评审期刊。