A study of invariants and local moves for virtual knots

虚拟结不变量和局部移动的研究

基本信息

批准号：
21K03257
负责人：
大山淑之
金额：
$ 1.33万
依托单位：
Tokyo Woman's Christian University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

2つの(仮想)結び目が局所変形で移りあうとき、移りあうために必要な局所変形の最少回数は距離の公理を満たし、(仮想)結び目の集合に距離空間の構造を入れることができる。局所変形による(仮想)結び目の距離空間の特徴を調べることが、本研究の目的の一つである。測地線グラフとは、頂点が(仮想)結び目であり、その(仮想)結び目をあらわす頂点同士のグラフ上での距離が(仮想)結び目の局所変形での距離と一致するグラフである。測地線グラフは、(仮想)結び目の局所変形による距離空間を可視化したものであり、局所変形による(仮想)結び目の距離空間がどの程度の大きさをもつか、判断することができる。局所変形として交差交換を考える。交差交換による仮想結び目の距離空間において、任意に次元の高い格子グラフが測地線グラフであることはすでに証明していた。前年の令和3年度の成果の１つは、仮想結び目の代表的な不変量が自明な結び目と同じ値となり、交差交換1回で自明な結び目に変形できる非自明な仮想結び目が無限個存することを示したことであった。その証明において、条件をみたす仮想結び目が無限個存在することを示すために、仮想結び目の代表的な不変量よりも、さらに分類能力が高く、かつ計算が複雑な不変量をもちいた。令和４年度の成果は代表的な仮想結び目の不変量だけでなく、令和３年度の結果を導くために用いた分類能力が高い不変量も一致し、交差交換１回で自明な結び目となる仮想結び目が無限個存在することを示した。自明な結び目からの交差交換１の距離に、不変量の観点から自明な結び目に近い非自明な仮想結び目が無限個存在するのである。

当两个（虚拟）结通过局部变形相互转移时，转移所需的局部变形的最小数量满足距离公理，并且度量空间的结构可以包含在（虚拟）结的集合中。这项研究的目的之一是研究由于局部变形而导致的（虚拟）结的度量空间的特征。测地线图是其中顶点是（虚拟）结的图，并且图上代表（虚拟）结的顶点之间的距离与（虚拟）结的局部变形中的距离匹配。测地线图是对（虚拟）结点局部变形引起的距离空间的可视化，可以判断（虚拟）结点局部变形引起的距离空间有多大。将交叉交换视为局部变形。我们已经通过交集交换证明了在虚拟结的度量空间中，任意高维的格图都是测地线图。前一年令和3的成果之一是虚拟结的代表不变量与平凡结具有相同的值，并且有无数个非平凡虚拟结可以转化为平凡结它表明了这一点。在证明中，为了证明满足条件的虚结有无限多个，我们使用了比典型虚结不变量具有更高分类能力、计算更复杂的不变量。 2020 财年的结果不仅与代表性虚拟结的不变量相匹配，而且还与用于推导 2021 财年结果的具有高分类能力的不变量相匹配，并且可以通过单次交叉交换来识别琐碎的结。虚拟结的数量是无限的。在距平凡结交叉交换1的距离处，从不变量的角度来看，存在无限多个接近平凡结的非平凡虚拟结。