代数多様体の標準計量と安定性の幾何学

代数簇的标准度量和稳定性几何

基本信息

批准号：
21K03229
负责人：
久本智之
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Tokyo Metropolitan University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

Kahler-Einstein 計量と呼ばれる標準的なKahler計量と代数多様体の安定性との関係は重要な問題である。現在は幾何学的フローや幾何学的量子化の視点からこれらの問題にアプローチしている。今年度の前半では、ベクトル束のHermite自己準同型に対し定義されるDonaldson汎関数に関する研究を行った。Donaldson汎関数を滑らかでない自己準同型まで拡張したとき、その最小点がHermite-Einstein計量を与えるかは明らかでない。しかし、もし最小点が自動的に滑らかになるのであれば、最小点の存在とDonaldson汎関数の強凸性が同値であることが示せた。このアイデアはKahler-Einstein計量に対するDarvas-Rubinsteinのアイデアに基づいており、Kahler-Einstein計量の研究に用いられたアイデアが様々な対象に適用できることを示している。今年度の後半では、Kahler-Ricci流とその代数幾何学的な対応物である最適退化について、いわゆる「幾何学的量子化」を用いてこれらを漸近的に構成する研究を行った。Kahler計量全体が成す無限次元空間は、大域切断に対するHermite内積全体が成す有限次元空間でよく近似できることが知られている。Kahler-Ricci流は前者の空間上の曲線と見なせ、エントロピー汎関数を減らす方向に流れていく。我々は後者の空間におけるKahler-Ricci流やエントロピー汎関数の対応物を定義し、それが類似の性質を満たすことを観察した。また、これらの対象の代数的な対応物として、同じ大域切断に対する非アルキメデス的な計量であってしかるべき汎関数を最小化するものを考察した。これは最適退化の有限次元における対応物と見なせる。

标准卡勒度量（称为卡勒-爱因斯坦度量）与代数簇稳定性之间的关系是一个重要问题。目前，我正在从几何流和几何量化的角度来处理这些问题。今年上半年，我们研究了为向量丛的 Hermite 自同构定义的唐纳森泛函。当将唐纳森泛函扩展到非光滑自同态时，不清楚最小点是否给出埃尔米特-爱因斯坦度量。然而，如果对极小点进行自动平滑，则表明极小点的存在等价于唐纳森泛函的强凸性。这个想法基于达瓦斯-鲁宾斯坦关于卡勒-爱因斯坦度量的想法，并表明用于研究卡勒-爱因斯坦度量的想法可以应用于各种对象。今年下半年，我们对卡勒-里奇风格及其代数几何对应的最优简并性进行了研究，以使用所谓的“几何量化”渐近地构造它们。已知整个卡勒度量形成的无限维空间可以很好地用全局割的整个Hermite内积形成的有限维空间来近似。卡勒-里奇流可以看作是前空间中的一条曲线，它沿着熵泛函递减的方向流动。我们定义了后一个空间中的卡勒-里奇流和熵函数对应项，并观察到它们满足相似的属性。我们还考虑了这些对象的代数对应物，它们是相同全局切割的非阿基米德度量，可最小化适当的函数。这可以看作是最优简并性的有限维对应。