平坦構造の一般化と線形微分差分方程式

平面结构和线性微分差分方程的推广

基本信息

批准号：
21K03313
负责人：
眞野智行
金额：
$ 2.5万
依托单位：
University of the Ryukyus
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03313/
关键词：
平坦構造微分方程式差分方程式

项目摘要

今年度は前年度に引き続き、平坦構造と呼ばれる幾何構造についてそのプレポテンシャルを持たない場合への一般化、および線形微分あるいは差分方程式のとの関係についての研究を行った。今年度の研究内容およびその成果について述べる。1)本研究課題の最も主要なテーマである平坦構造と線形微分方程式のモノドロミ保存変形との関係について、これまでの研究で得られた成果などをまとめた専門書を執筆し原稿を完成させ出版した。この書籍では、(拡張)大久保型方程式を基礎とした平坦構造の定式化とモノドロミー保存変形やパンルヴェ方程式への応用、well-generatedな複素鏡映群から標準的に導かれる平坦構造の構成とその応用について解説した。その執筆の過程で「3つ組(M,D,Δ)」と「3つ組(M,D,Δ)に対する大久保-斎藤ポテンシャルの空間」という2つの概念が抽出されてきた。これは今後の研究において基礎となる重要な概念である。2)q-差分方程式の大久保型標準形および平坦構造のq-類似を構成する研究を行った。出発点となるq-差分方程式の階数が2の場合には、平坦構造を構成することができたが、階数が3以上の場合にはいくつかの試みにも関わらず構成ができなかった。特に、階数が3以上の場合には本質的な困難が現れることが分かった。3)階数3の大久保型方程式に対して、1)で得られた構成を適用すると、パンルヴェ方程式の解に対して3つ組(M,D,Δ)を定義することができ、これはパンルヴェ方程式の解の不変量を与える。昨年度以前に構成したパンルヴェ方程式の超越解に対して3つ組(M,D,Δ)を具体的に構成することを試みた。これについてはまだ進展中であり、確定的な結果は得られていないが、興味深い視点からの研究であると考えている。

今年，继去年的基础上，我们研究了被称为平面结构的几何结构在不具有预势的情况下的推广，以及与线性微分或差分方程的关系。我介绍一下今年的研究内容和结果。 1）写一本专门的书，总结迄今为止关于平面结构与线性微分方程单向保持变形之间关系的研究成果，这是本研究项目最重要的主题，完成手稿并出版。做过。本书描述了基于（扩展）Okubo 型方程的平面结构的公式、它们在保持单调变形和 Painlevé 方程中的应用，以及可以从良好生成的复反射群中标准导出的平面结构的构造应用。被解释了。在撰写本文的过程中，提取了两个概念：“三元组（M，D，Δ）”和“三元组（M，D，Δ）的大久保-斋藤势空间”。这是一个重要的概念，将构成未来研究的基础。 2)研究了q-差分方程的大久保型标准形式和平面结构的q-类比。当用作起点的q-差分方程的阶为2时，可以构建平坦结构，但当阶为3或更高时，尽管多次尝试仍无法构建。特别地，发现当层数为3或更高时出现本质困难。 3) 将 1) 中获得的配置应用于 3 阶 Okubo 型方程，可以为 Painlevé 方程的解定义一个三元组 (M, D, Δ)，即给出以下解的不变量方程。我尝试为去年之前构建的Painlevé方程的超越解具体构建一个三元组（M，D，Δ）。尽管这项工作仍在进行中，尚未获得明确的结果，但我们相信这项研究是从一个有趣的角度进行的。