Advances in Geometric Mechanics and Topology of Quantum Systems

量子系统几何力学和拓扑的进展

基本信息

批准号：
21K03223
负责人：
岩井敏洋
金额：
$ 1.5万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

バルク・エッヂ対応について研究を続けてきた。これまでの研究ではバルク状態を特徴づける位相不変量として主に第１チャーンを用いてきたが、今年度の研究では第２チャーン数のかかわるモデルを取り上げた。それは２つの２次元球面の直積空間(底空間と呼ぶ)上で定義され、エルミート行列の形に表される１パラメータのハミルトニアンである。これを半量子系ハミルトニアンと呼ぶ。このハミルトニアンの固有値に付随する固有空間をファイバーとする階数２のファイバーバンドルが底空間上に定義される。パラメータ変化に伴って固有値が縮退したときに、その前後でバンドルの第２チャーンャーン数が変化する様子を調べた。実際の計算は、曲率形式の積分を構造群 SU(2)への写像度(チャーン・サイモン形式)の計算に帰着させて行った。対応する量子系のハミルトニアンは、それぞれの２次元球面が3次元ポアッソン多様体のシンプレクティック部分多様体であると考えて、ポアッソン多様体の古典変数を角運動量作用素に置き換えることにより構成される。ハミルトニアンの回転対称性を利用して、エネルギー固有値問題を解くことができる。その結果エネルギーのバンド構造が解明できて、スペクトル流が求まる。スペクトル流は上述のチャーン数の変化に一致することが示される。つまり、バルク・エッヂ対応が成り立つ。さらに、チャーン数の変化やスペクトル流は"特異点"での作用素の線形化でも得られることを示した。つまり、線形化してもバルク・エッヂ対応が成り立つことが確認できる。さらに、動的 Jahn-Teller 効果を持つ平面３原子分子についてや、時間反転対称性を持つ場合と持たない場合にバルク・エッヂ対応がどのように実現されるかについても研究した。

我们继续研究散装边缘响应。先前的研究主要将第一次流失用作散装状态的拓扑不变性，但今年的研究重点是涉及第二个流失数量的模型。这是一个在两个二维球形表面的线性产品空间（称为基本空间）上定义的单参数汉密尔顿，并以遗传学基质的形状表示。这被称为半量子汉密尔顿人。与该哈密顿特征值相关的与特征空间相关的纤维的等级2光纤束在底部空间上定义。我们研究了本特征值之前和之后的捆绑量变化随参数变化的变化之前和之后的捆绑包中的第二Chan Ang的数量。实际的计算是通过将曲率形式的积分减少到将映射（搅拌 - 示单形式）的计算为SU（2）的计算中进行的。相应量子系统的哈密顿量是通过将泊松歧管的经典变量替换为角动量算子来组成的，因为考虑到每个二维球是三维poisson歧管的符合性亚体。哈密顿量的旋转对称性可用于解决能量特征值问题。结果，可以阐明能量结构，并可以确定光谱流。结果表明，光谱流与上述流失数量的变化一致。换句话说，可以进行散装边缘对应。此外，还可以通过“奇异性”的算子线性化来获得流失数量和光谱流的变化。换句话说，可以证实即使在线性化时也可能实现散装边缘对应关系。此外，我们还研究了具有动态Jahn-Teller效应的平面三部分分子，以及如何在有或没有时间内的对称性的情况下实现散装边缘对应。