Structure and logarithmic plurigenera of normal affine surfaces

普通仿射曲面的结构和对数复数

• 批准号: 21K03200
• 负责人: 小島 秀雄
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Niigata University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03200/
• 关键词: アフィン代数曲面; 正規代数曲面; 対数的小平次元; 導分; 多項式環; 正規del Pezzo曲面; 代数的トーラス作用; 正規デルペッゾ曲面; 代数幾何学; 対数的多重種数; 有理曲面

射影有理曲面上の既約曲線の補集合、ピカール数1の正規del Pezzo曲面、および、多項式環の部分代数について研究した。今年度に主に得られた成果は次の通りである。(1) 高橋剛氏、唐澤翔太朗氏 (新潟大学大学院生) と共同で、ヒルゼブルフ曲面上の既約曲線の補集合について研究し、補集合の対数的小平次元が2になるための曲線の種数や次数に関する十分条件を与えた。これらは射影平面曲線の場合に若林功氏や吉原久夫氏によって得られた結果のヒルゼブルフ曲面版になっている。更に、ヒルゼブルフ曲面上の尖点有理曲線で特異点が2個のものについて、その補集合の対数的小平次元が0以上となることを示し、更に、補集合の対数的小平次元が0となる場合の構成方法を与えた。(2) 服部京平氏 (新潟大学大学院生) と共同で、有理数体を含むUFD (一意分解整域) 上の多項式環の導分の冪零元からなる環について研究した。冪零元からなる環の超越次数が1以下のときは、その環はUFD上1個の元で生成されることを証明した。更に、2変数多項式環上の単項式導分（変数の像が単項式となる導分）について、その冪零元からなる環を決定した。これらの結果は服部氏との共著論文にまとめ、現在、投稿中である。(3) 標数0の代数閉体上のピカール数1の正規del Pezzo曲面について、その曲面が有理対数的標準特異点のみを持ち、更に川又対数的端末特異点でないものを含む場合の分類を調べた。そのような曲面の非特異部分に対して開代数曲面の極小モデルを走らせることにより、その曲面がアフィン直線の線織構造を持たない（アフィン線織的でない）場合の構成方法が分かった。また、澤原雅知氏（埼玉大学研究員）と共同で、アフィン平面の有限群商として現れるアフィン代数曲面の極小コンパクト化として現れる、ピカール数1の正規del Pezzo曲面の部分的分類を行った。

我们研究了投影性有理表面上的一组不可减至的曲线，正常的del pezzo表面，PICARD数为1，以及多项式环的亚代词。 The main results obtained this year are as follows: (1) In collaboration with Takahashi Tsuyoshi and Karasawa Shotaro (a student at Niigata University), we studied the complementary sets of irreducible curves on the Hilzebulf surface, and provided sufficient conditions regarding the number of species and order of the curves so that the logarithmic tiny dimension of the complementary set is 2. These are the在投影平面曲线的情况下，Wakabayashi Isao和Yoshiwara Hisao获得的Hilzeburg表面版本。此外，对于希尔兹堡地面上的两个单数点，我们表明补体集的对数平面尺寸大于或等于0，我们提供了一种构造补充集合集合的尺寸大于或等于0的情况的情况。多项式环在UFD（独特分解区域）上的衍生，包含有理数。已经证明，当由零元素组成的环的超越顺序为1或以下时，将在UFD上生成环。此外，对于在两种可变量多项式环上的一偏移（变量图像变为单一图像的转储），确定了由零元素组成的环。这些结果总结在与Hattori合着的论文中，目前正在提交。 （3）我们研究了在代数闭合场上具有平地数为1的正常del pezzo表面的分类，其中具有0个为代数的代数，在该代数中，表面仅具有有理的对数标准奇异性，还包括那些不是kawamata对数终端奇异的象征。通过在该表面的非单个部分的开放代数表面的最小模型中运行最小模型，已经发现该结构不是仿射线性结构（不是仿射线性）。此外，我们与Sawahara Masatomo（Saitahara Masatomo（Saitama University）的研究人员合作，我们对常规的Del pezzo表面进行了部分分类，其上的数量为1，这似乎是仿射代数表面的微型压实，这些表面似乎是出现的有限群体，这些表面似乎是伴随平面的有限组商。

项目成果

The 21st Affine Algebraic Geometry Meeting

第21届仿射代数几何会议

• 发表时间: 2023

Rings of nilpotent elements for derivations in polynomial rings

用于多项式环推导的幂零元环

• 发表时间: 2022
• 作者: Hideo Kojima;Kyohei Hattori
• 通讯作者: Kyohei Hattori

Normal log canonical del Pezzo surfaces of rank one and type (IIb)

一阶和类型 (IIb) 的正态对数正则 del Pezzo 曲面

• 发表时间: 2022
• 期刊: Saitama Mathematical Journal
• 作者: Hideo Kojima;Takeshi Takahashi
• 通讯作者: Takeshi Takahashi

Smooth affine G_m-surfaces with finite Picard groups and trivial units

具有有限 Picard 群和平凡单位的平滑仿射 G_m 曲面

• 发表时间: 2023
• 期刊: Tokyo Journal of Mathematics
• 影响因子: 0.6
• 作者: Ambro Florin;Ito Atsushi;Hideo Kojima
• 通讯作者: Hideo Kojima

Rings of nilpotent elements of monomial derivations on polynomial rings

多项式环上单项式导数的幂零元环

• 发表时间: 2023
• 作者: 服部京平;小島秀雄
• 通讯作者: 小島秀雄