距離制約をもつ離散構造に対する解析理論の構築

距离约束离散结构解析理论构建

• 批准号: 21J21977
• 负责人: 大場 亮俊
• 金额: $ 1.6万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-28 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21J21977/
• 关键词: グラフ理論; グラフ剛性理論; 半正定値計画問題; スペクトラルグラフ理論

周期性をもつ幾何ネットワークの半正定値計画問題(SDP)を用いた解析から派生し、折り畳み可能次元（実現可能次元）とよばれるグラフパラメータの解析を行った。これが本研究の主要な成果となった。幾何ネットワークの折り畳み可能次元とは、その幾何ネットワークを、距離制約を満たしつつ折り畳むことのできる最小の次元である。グラフGの折り畳み可能次元は、Gに支持される幾何ネットワーク全ての折り畳み可能次元の最大値と定義される。Belk-Connellyはフレームワークを考えた際の、実現可能次元が1,2,3以下となるグラフの特徴づけを与えた。我々はこれを周期フレームワークおよびテンセグリティへ拡張した。まず周期フレームワークに対しては、実現可能次元が1, 2以下となるグラフを特徴づけた。証明において、特定のグラフが超安定的な実現をもつことを用いており、この際SDPによる枠組みを用いている。次にテンセグリティに対しては、多重グラフに対するパラメータとして実現可能次元を定式化した。まず実現可能次元が1以下のグラフの特徴づけを与えた。一方、実現可能次元が2以下のグラフの特徴づけは未解決で、ある6つのグラフをマイナーにもたないことと等価でないかとの予想に留まっている。これらの禁止マイナーに超安定的な実現が存在することは確認済みであるが、これらをマイナーにもたないグラフの構造が複雑なため折り畳み可能性が分かっていない。一方でSDPの双対側から、与えられた多重グラフGをある次元に超安定的に実現できるかという問いに関係するパラメータが得られることを発見した。これをColin de Verdiereラプラシアン型パラメータとよび、実現可能次元の下界となることを示した。これに対しては1，2以下のグラフを特徴づけた。それは実現可能次元に対するもの（予想も含む）と同じである。

基于使用半定规划问题（SDP）对周期性几何网络的分析，我们分析了称为可折叠维度（可行维度）的图参数。这是本研究的主要结果。几何网络的可折叠尺寸是几何网络在满足距离约束的情况下可以折叠的最小尺寸。图 G 的可折叠维度定义为 G 支持的所有几何网络的最大可折叠维度。 Belk-Connelly 在考虑框架时给出了可行维度为 1、2、3 或更小的图的特征。我们将其扩展到周期性框架和张拉整体。首先，对于周期框架，我们用可行维度为 1 或 2 或更小的图来表征。在证明中，我们利用特定图具有超稳定实现的事实，在本例中我们使用SDP框架。接下来，对于张拉整体，我们将可实现的维度表述为多重图的参数。首先，我们给出了可行维数小于 1 的图的表征。另一方面，可实现维数为2或更小的图的表征尚未解决，唯一的猜想是它相当于小数中不存在六个图中的任何一个。尽管已经确认这些被禁止矿工的超稳定实现是存在的，但由于结构复杂，没有这些矿工的图的可折叠性是未知的。另一方面，我们发现从SDP的对偶方面，我们可以获得与给定的多重图G是否可以在某个维度上超稳定实现的问题相关的参数。这称为 Colin de Verdiere 拉普拉斯类型参数，并被证明是可实现维数的下界。为此，我们对下面的图表 1 和 2 进行了描述。它与可行性维度（包括期望）相同。

项目成果

周期グラフのd-実現可能性の特徴づけ

周期图 d-可行性的表征

• 发表时间: 2021
• 作者: Katayama Haruna;Hatakenaka Noriyuki;Matsuda Ken-ichi;大場亮俊，谷川眞一
• 通讯作者: 大場亮俊，谷川眞一

Universal Rigidity of Generic Symmetric Tensegrities

通用对称张拉整体的通用刚度

• 发表时间: 2021
• 作者: Ryoshun Oba;Shin-ichi Taingawa
• 通讯作者: Shin-ichi Taingawa

Colin de Verdiere型ラプラシアンパラメータとテンセグリティの実現可能次元

Colin de Verdiere型拉普拉斯参数和张拉整体的可行性维度

• 发表时间: 2021
• 作者: Suzuki Norio;Iwamura Yuma;Nakai Taku;Kato Koichiro;Otsuki Akihito;Uruno Akira;Saigusa Daisuke;Taguchi Keiko;Suzuki Mikiko;Shimizu Ritsuko;Yumoto Akane;Okada Risa;Shirakawa Masaki;Shiba Dai;Takahashi Satoru;Suzuki Takafumi;Yamamoto Masayuki;Katayama Haruna;大場亮俊，谷川眞一
• 通讯作者: 大場亮俊，谷川眞一

Characterizing the universal rigidity of generic tensegrities

表征通用张拉整体的通用刚性

• DOI: 10.1007/s10107-021-01730-2
• 发表时间: 2021
• 期刊: Mathematical Programming
• 影响因子: 2.7
• 作者: Oba Ryoshun;Tanigawa Shin-ichi
• 通讯作者: Tanigawa Shin-ichi