带梯度流结构的活动标量模型的定性研究

It has got significant interest and extensive application for the active scalars, not only in the fluid dynamics, but also in a large number of physics models. This project is aimed at the study of the qualitative problem of the active scalars with gradient flow structure. Under abstract or low regularity condition, we develop an overall consideration of the well-posedness, uniqueness, asymptotic behavior, space analyticity, blow-up property, etc. in varietal models, mainly the aggregation model, the chemotaxis model and the porous medium model. Thanks to the Calderón-Zygmund singular integral operator theory, as well as the rough kernel operator theory, we narrow the gap between the high regularity for the uniqueness and the low regularity for nonuniqueness. To gain the well-posedness and other properties in the Besov spaces and Fourier-Besov spaces under weak regular kernel, we use the Lagrangian coordinate transformation and estimates of the operator semigroup. By constructing appropriate commutators and approximate equations, we extend some existing results on the mild solution by taking use of Littlewood-Paley theory and Bony's decomposition. Moreover, Gevrey class will be used to study the spatial analyticity and temporal decay rates.

活动标量模型不仅在流体力学中获得广泛关注，而且在很多物理模型中也获得越来越多的应用。本项目研究带梯度流结构的活动标量模型的定性问题,在抽象以及弱化核函数条件下，综合考虑多种方程模型的适定性，弱解唯一性，渐近行为，空间正则性，爆破性质等问题，主要包含聚合模型，趋化模型，多孔介质流模型等。采用Calderón-Zygmund奇异积分算子的理论及粗糙核算子的理论，减弱方程的正则性条件，缩小唯一性所需高正则条件与不唯一性所需低正则条件之间的差距。利用Lagrangian坐标变换和算子半群估计，构造合适的交换子以及逼近方程组，采用Littlewood-Paley理论和Bony分解，推广方程已有的温和解结果，得到更一般核函数条件下Cauchy问题在齐次Besov空间和Fourier-Besov空间中的解及其性质，并用Gevrey类方法研究解的空间解析及时间衰减性。

活动标量模型包含多种流体方程和物理模型，在数学理论与物理实际都受到广泛关注。项目考虑了3类活动标量模型，研究了无粘情形的唯一性、粘性情形的弱正则性条件以及Gevrey正则性问题。在无粘分数次多孔介质方程中，通过一类退化运输方程的研究得到了其在Sobolev空间中的适定性与唯一性，尤其是得到了指标s=1/2时的唯一性结果。在粘性广义多孔介质方程中，提出一类抽象的压力项正则性条件，这一条件相比于Sobolev中的已有结果要弱一些，也更加一般化，并在此条件下证明了其在Fourier-Besov空间中的适定性结果和一类爆破准则。在广义Navier-Stokes方程和分数次Debye-Hücker系统中，研究了其在Fourier-Besov空间中的Gevrey正则性，并由此得到解关于时间的衰减速度。其中唯一性结果得到相关学者的多次引用，而压力项的正则性条件以及在Fourier-Besov空间中证明Gevrey正则性的方法，也得到其他学者采纳借鉴。

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