经典以及量子开放系统中的弱不变性理论及其应用研究

Kinetics based on the Fokker-Planck equations in classical theory or the Lindblad equations in quantum theory offers an important starting point for studies of (non)equilibrium statistical mechanics of open systems. On the other hand, invariants or conserved quantities play important roles in diverse areas of sciences. The purpose of the present research is to develop the theory of weak invariants. A weak invariant is defined as a physical quantity that varies in time but its expectation value remains constant. This is in contrast to an ordinary invariant that is kept constant in the course of time evolution of a system. The latter is referred to as a strong invariant. Our project contains 3 primary issues: Firstly, we plan to apply some weak invariants presented in our recent works to constructions of the solutions of the master equations. Then, as a specific example, we study the Lindblad equation associated with the quantum RCL circuit and construct its solution in order to evaluate important physical quantities such as the decoherence time..Secondly, based on the relation between continuous symmetry of action and a conservation law of physical quantity, we wish to formulate theory of weak invariants and to clarify how it can characterize nonequilibrium stationary states of an open system. The auxiliary variable formalism will be adopted to extend the space of dynamical variables and then an action functional can be defined. Thirdly, we further generalize the theory of weak invariants to the case of non-Markovian dynamics in quantum theory. We wish to mathematically analyze an operator integro-differential equation for a weak invariant.

开放系统的非平衡统计力学在经典理论中源自Fokker-Planck方程，在量子理论中则起源于Lindblad方程。另一方面，不变量或守恒量在科学的各个领域都具有举足轻重的作用。本项研究意在发展一种弱不变性理论，其中的弱不变量定义为：一个物理量随时间变化，但其统计均值为常数；这与不随时间变化的守恒量有一定的区别，后者一般被称为强不变量。我们的研究主要有以下三个内容：一是采用我们近期获得的一些弱不变量来构造主方程的解，例如将Lindblad方程与量子RLC回路耦合并求解，由此得到消相干时间等一些重要的物理量。二是基于作用量连续变换对称性与物理量守恒之间的对应关系，引入辅助变量来扩展动力学变量的相空间，定义作用量的泛函，构造一种弱不变性理论，以此来分析开放系统的非平衡稳态。三是进一步将弱不变性理论扩展到量子领域的非马尔科夫的动力学中，我们拟通过对算符微分-积分方程的数学分析来建立一种弱不变量。

弱不变量的概念源于量子热力学，在经典平衡热力学中，人们往往只考虑动力学变量及其粗粒化，由此来研究宏观热力学量，但是在量子热力学中，需要考虑的不仅是动力学量（可观测量），还需要考虑希尔伯特空间。这一“双重结构”带来了新的概念，比如允许我们对浴进行广义化等等。其中的一个具体例子就是经典热力学中不存在的“能量浴”，该浴可以维持系统的内能在“等能量过程”中保持不变，这种奇异的浴是有可能通过当前能量输运技术来实验验证的。值得注意的是，由于量子性违背了能量均分定理，等能量过程与经典热力学的等温过程是有所区别的，基于此，我们发展了一种关于弱不变量的一般性理论。一个弱不变量是定义于依赖时间演化的开放系统之中，其本征谱并非常数，但它的期望值却是守恒的。因此，我们发现了前述的双重结构在经典的非平衡系统中可以找到对应关系，也就是，变量和时变分布之间存在关联。. 在这一前提下，我们针对经典以及量子的非平衡系统，研究了一系列弱不变量的性质。 一、采用Lindblad方程分析等能量过程，我们发现系统的时变哈密顿量实际上就是一个弱不变量。在时变谐振子系统以及旋转外磁场的自旋系统中，我们进行了详细的计算，为分析小系统的量子热力学性质提供重要参考。二、分析了经典动力学方程，如Fokker-Planck方程，中的弱不变量。三、 分析了弱不变量的涨落，发现这是一个不随时间减小的量，这一结论可以与玻尔兹曼的H定理进行对比。四、在经典以及量子的一般性动力学方程中，构造了其中的作用量，并分析了它的对称性结构。

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