数值求解非线性方程组的预条件研究及其应用

We focus on the study of the numerical solution to systems of nonlinear equations(arising from the discretion of nonlinear partial derivative equations or nonlinear matrix equations). We study on the suitable transformations of systems in order to improve the property for reducing the computational complexity of iterations used. We study on the preconditioning function of iterations used for systems of nonlinear equations themselves in order to improve the efficiency of iterations in the solution of nonlinear partial derivative equations. Combining with the construction of systems of nonlinear equations, we study on how to implement effectively the algebraic preconditioning in each inner loop in order to keep the convergent speed and boost the efficiency of an iteration we used, while we are considering this preconditioning for each step of the iteration. We consider applications to the computation of problems of incompressible fluid and electromagnetism.

针对非线性方程组(非线性偏微分方程的离散系统及非线性矩阵方程)的数值求解展开研究。研究非线性方程组的合理形变，以改善非线性方程组的性态，降低非线性迭代方法的计算复杂度；研究非线性迭代本身所具备的预处理功能，以提高迭代方法在偏微分方程数值求解中的效率；结合非线性方程组的构造特性，在关注非线性迭代法的内循环步中线性方程组的代数预处理技术的同时，研究如何进行有效的预处理以保持非线性迭代的收敛阶，提高计算效率。考虑上述内容在不可压缩流体及电磁问题计算中的应用。

微分方程数值求解中，离散所得的有限维(非)线性问题对原文题的逼近性态以及对离散问题数值求解中的方法对数值求解的效果产生直接的影响，项目意在探讨改善离散问题的逼近性状以及数值求解的迭代方法。我们在如下三个方面取得了一些进展：（一）微分方程数值求解的方法。在这部分中，我们借助优化问题，构建了一类二维Helmholtz方程的密度函数的重构问题的迭代算法，构建了一类针对非线性磁材料中的缺陷检测的迭代算法；我们借助于问题本身的结构修正离散的非线性方程组，构建了对称阻抗形式的Sturm-Liouville方程密度函数的重构迭代算法；数值例子表明，上述算法的效能得到提高。我们借助同解形变数值求解二维椭圆问题的线性方程组，改善了系数矩阵的条件数的方法。（二）高阶迭代法及矩阵求根算法的研究。在这部分中，我们获得了Euler方法用于求解矩阵主p次根的收敛域，分析其稳定性，并借助Schur分解，构造了相对稳定的数值求解格式，提高计算效能；我们还扩大了Newton法求解矩阵主p次根时的已知收敛域。（三）关于鞍点问题的算法研究。在这部分中，我们对SOR类、AOR类以及SSOR类算法的基本构造及其收敛性展开了系统的研究，给出了一般性的构造形态，获得了算法类的收敛因子的下确界，顺便给出了下确界可达的条件。我们展开了数据处理中的方法研究中。

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