芬斯勒向量丛上的高斯-博内特-陈定理

The Gauss-Bonnet-Chern theorem plays a central role in differential geometry, and it is the issue which the international mathematical community has always been interested in. The Gauss-Bonnet-Chern theorem leads to several important areas such as index theory and the theory of characteristic classes. The purpose of this project is to study the Gauss-Bonnet-Chern theorems for Finsler vector bundles and for any metric-compatible connection. We will first establish the Gauss-Bonnet-Chern theorem for real Finsler vector bundles by Quillen’s theory and Chern’s intrinsic method. And we will establish the Gauss-Bonnet-Chern theorem for complex Finsler vector bundles from two different points of view, i.e., exact sequences of holomorphic vector bundles and currents.. This project not only expands the research field of Finsler geometry, but also promotes the developments of Atiya-Singer index theorem and algebraic geometry. It is an international frontier research, and will have important applications in many fields.

高斯-博内特-陈定理是微分几何中的一个核心问题,也是国际数学界一直以来非常关注的课题，它对指标定理和示性类等重要理论的形成做出了先驱性的贡献。本项目着重研究芬斯勒向量丛上度量相容联络的高斯-博内特-陈定理。我们将利用Quillen理论和陈省身先生的内蕴方法来建立实芬斯勒向量丛上度量相容联络的高斯-博内特-陈定理；并从全纯丛正合列和流（current）两个不同的角度来建立复芬斯勒向量丛上度量相容联络的高斯-博内特-陈定理。. 本课题不但拓展了芬斯勒几何的研究领域，而且促进了Atiya-Singer指标定理和代数几何的发展，属国际前沿学科，将会在诸多领域有重要应用。

高斯-博内特-陈定理是微分几何中的一个核心问题,也是国际数学界一直以来非常关注的课题。本项目着重研究实和复芬斯勒向量丛上的高斯-博内特-陈定理。通过陈省身先生的超渡（transgression）方法，我们首先在复芬斯勒流形上建立了高斯-博内特-陈定理，这是复芬斯勒几何中的第一个高斯-博内特-陈定理。在我们结果出来不久，冯惠涛教授和刘克峰教授等人（Feng-Liu-Wan）通过纤维积分的方法得到了复芬斯勒向量丛上的高斯-博内特-陈定理；鉴于他们的结果已较为完备，我们没有重复考虑复芬斯勒向量丛的情况。在实芬斯勒向量丛的情况，通过构造方法和Chern-Weil理论，我们建立了（度量相容联络的）高斯-博内特-陈定理；这是目前为止在实芬斯勒向量丛上关于高斯-博内特-陈定理的唯一的结果，该结果包含了实芬斯勒流形和黎曼向量丛的情况。由于原计划了项目内容基本完成，我们又考虑了芬斯勒几何中的其他一些整体问题，特别地我们建立了一般实芬斯勒流形上的Stantalo积分公式，并由此建立了一般实芬斯勒流形上的Croke等周不等式和Yamaguchi有限性定理；另一方面，我们还建立了Berwald空间上的Cheeger微分同胚型有限性定理，并得到了一般实芬斯勒流形的Cheeger型半径估计。

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