一类局部Lipschitz条件下的混杂跳跃扩散过程的遍历性及其应用

Hybrid diffusion processes with jumps are one of the extremely important processes which are considered in finance, ecology and information science and so on in the past decade. This project will focus on the ergodicity of hybrid jump-diffusion with non-Lipschitz coefficients and their applications in population dynamics and complex dynamic network. First of all, the existence and uniqueness of the solution, recurrence and weak Feller property for the processes will be considered. Then, the invariance measure, ergodicity and related problems for the processes will be studied. Finally, we will discuss their applications in population dynamics and complex dynamic network system. The intensive research on these issues, which will need innovation in research methods and techniques, will have great influence on theories and applications for hybrid jump diffusion processes

混杂跳跃扩散过程是近十年来在金融学、生态学和信息科学等领域广泛研究的一类非常重要的随机过程。本项目将主要研究系数满足局部李普希兹(Lipschitz)条件下的混杂跳跃扩散过程的遍历性及在生物种群、复杂动态网络的应用。首先，研究该类过程解的存在与唯一性、常返性以及弱费勒性。其次，研究该类过程的不变测度存在性、遍历性及其相关问题。最后，探讨该类混杂跳跃扩散过程在生物种群、复杂动态网络系统中的应用研究。对这些问题展开深入细致的研究，不仅需要在研究方法和技巧上创新，而且必将在混杂跳跃扩散过程的理论和应用研究上产生重要影响。

本项目主要研究了混杂(跳)扩散过程的遍历性及其应用。.首先，我们重点研究混杂CIR利率模型遍历性的充分条件。我们证明了在一定条件下带马尔可夫切换的CIR 利率模型具有遍历性，并且证明其唯一的边际分布由其各阶矩决定 (Insurance: Mathematics & Economics, 2016)。同时进一步证明了当扩散系数为0.5阶Hölder连续时，过程对应的转移半群在Wasserstein 距离下指数收敛到唯一平稳测度( Stochastic and Dynamics, 2017)。在上述基础上，我们深入研究Hölder连续的对称稳定过程的常返性与遍历性，给出了一类CIR型稳定过程的瞬时与遍历性的充分条件（Discrete and Continuous Dynamics B, 10.3934/dcdsb. 2018053）。 .其次，在上述研究基础上，我们研究了混杂稳定过程的遍历性及其性质。先考虑OU型混杂稳定过程的遍历性，给出了带马尔可夫切换的稳定过程的遍历性与瞬时性的充分条件（Applicable Analysis, 2017)。对于一维一般混杂稳定过程的遍历性，我们研究了此类过程的收敛速度，并给出几类过程指数收敛的充分条件(Potential Analysis, 2017)。. 再则，我们考虑了一类非线性增长系数的人口模型的遍历性及其收敛速度问题， 给出了稳定过程驱动的人口模型的指数遍历的充分条件（Statistics and Probability Letters, 2017）。另外，在此基础上，我们分别讨论了Ait-Sahalia-type利率模型和随机吸烟模型的遍历性的充分条件。.总之，在青年基金的资助下，我们发表SCI检索论文9篇，1篇核心期刊。另有4篇文章在审稿中。

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