振荡微分方程高阶指数型保结构算法及其长时间行为

This project focuses on constructing novel and high-order structure-preserving algorithms of exponential type for oscillatory differential equations. Furthermore, the nonlinear stability and long-term behaviour of the constructed algorithms will be analysed. . Generally speaking, the investigation of structure-preserving algorithms for oscillatory differential equations can be divided into two types. The first one is that some classical structure-preserving algorithms with high accuracy fail to preserve the oscillatory structure, such as the continuous-stage Runge-Kutta (cRK) method. On the contrary, some novel structure-preserving algorithms could preserve the oscillatory structure, but have limited precision, for instance the exponential AVF (EAVF) method.. In this project, by using the Lawson method and the method of reduction of order, the ERK/ERKN methods with continuous-stage will be proposed and analysed. Meanwhile, the order conditions and the structure preservation of the proposed methods will be investigated. The long-term behaviour of the derived methods will be analysed by using Modified-Fourier method. Moreover, in order to further improve the research of exponential integrators, the relations between ERK method and ERKN method will be established by using the exponential splitting method. The project will also explore the application of the exponential-type structure-preserving algorithms for solving the partial differential equations with a takanami number. In the light of rigorously theoretical analysis, the relationship of the stepsize with the takanami number will be clarified.

本项目将对振荡微分方程构造新的高阶指数型保结构算法并分析其非线性稳定性和长时间行为。一般来说，振荡微分方程保结构算法的构造主要有两个趋势：其一是具有高精度却不能保持振荡结构，如连续级Runge-Kutta（cRK）方法；其二是保持系统的振荡结构却精度低，如指数型AVF方法。本项目将结合Lawson方法和降阶法，对振荡常微分系统构造并分析同时保振荡结构的连续级指数RK（ERK）方法、拓展的Runge-Kutta-Nyström（ERKN）方法，研究连续级ERK/ERKN方法的阶条件、保结构性等。运用修正的Fourier方法分析ERK、ERKN方法的长时间行为，包括收敛性、长时间结构保持性等。同时，本项目将运用指数分裂法为ERK方法和ERKN方法建立内在联系，进一步完善指数型保结构算法的研究。此外，本项目还将研究指数型保结构算法在高波数偏微分方程上的应用，分析高波数对步长的影响。

本项目主要研究高频振荡微分系统的高精度保结构算法的构造及其长时间行为分析。高频振荡微分系统在自然科学研究及实际工业应用等诸多领域具有重要的研究意义。所研究系统一般具有许多重要的物理性质或几何结构，例如对称性、能量守恒或耗散性、振荡性等。在数值研究时不仅要尽可能地保持原系统的性质及结构，还要分析所构造方法的长时间计算行为。本研究针对半线性高频振荡微分系统提出了高精度三角函数配置方法，分析了所构造方法的非线性稳定性、超收敛性、对称性及长时间能量保持性等。针对高频振荡常微分系统给出了 ERKN 方法的非线性稳定性及收敛性分析；结合 ERKN 方法和 Fourier 谱方法研究了高频振荡的非线性波方程，分析了算法的长时间收敛性。针对一维及二维波方程，本研究结合平均向量场方法及高阶有限差分方法给出了能够同时保持振荡结构的高精度能量保持方法。针对二阶Hamiltonian系统，本研究结合配置方法提出了具有高阶精度的能量保持的数值方法，并研究了数值方法的弱正则性及收敛性。此外，项目组还研究了 Cahn-Hilliard 方程、重力波系统、非线性欧拉系统的高效数值方法。

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