凸体几何学中的几何测度及其 Minkowski 问题研究

With the basis of convex geometry, this project will intensively focus on investigating geometric measures and their associated Minkowski problems, by comprehensively using methods from calculus of variations, functional analysis and Brunn-Minkowski theory. To be specific, it includes the following: Lp electrostatic capacitary measure and its Minkowski problem for p>1; Lp surface area measure and its Minkowski problem for p<1; Mixed cone volume measure and its Minkowski problem, etc. Furthermore, this project will continue to tackle the conjecture for Lutwak affine quermassintegrals, and affine isoperimetric problem for mixed cone volume functional...The above mentioned topics are closely traced the research hotspot and lie at the mainstream of convex geometry since 2012. They are also important problems absorbed by experts from geometric analysis, harmonic analysis and elliptic PDEs and urgently awaited to be solved , with great difficulty and challenge...The investigators would be strongly promoted to the highlighted position if the project is granted. We believe that the concepts and techniques developed in this project would have to yield some essential and significant achivements, which will greatly enrich the connotations of convex geometry.

本项目以凸体几何学为基础， 综合利用变分学、泛函分析和 Brunn-Minkowski 理论，重点研究凸体几何学中的几何测度及其 Minkowski 问题。具体包括： Lp （p>1）电容测度及其 Minkowski 问题； Lp (p<1) 表面积测度及其 Minkowski 问题；混合锥体积测度及其 Minkowski 问题等。此外，本项目继续攻关 Lutwak 仿射均质积分等周问题猜想和混合锥体积泛函的仿射等周问题。. 本项目的研究课题是近五年来国际凸体几何学界研究的热点和主流。也是几何分析、调和分析和椭圆偏微分方程等领域关注的重要问题。具有较大的难度和挑战性, 亟待解决。. 开展本项目研究势必促进课题组成员迈向凸体几何研究的高点。 研究过程中所发展的概念和技巧必定会得到实质性有科学意义的成果, 丰富凸体几何的内涵。

本项目以凸体几何学中的几何测度及其Minkowski 问题为研究课题。重点研究了静电容量测度和锥体积测度的Minkowski问题；还研究了锥体积测度和泛函的仿射等周问题。Minkowski问题是凸体几何、微分几何以及几何分析共同关注的研究课题；等周问题是数学中饶有兴趣的重要问题，其实质是刻画几何泛函的极值性。.. 本项目得到了以下重要结果：1. 最早提出了Lp ℘-静电容量的Minkowski问题。方法上首次通过研究两个对偶的极值问题来攻克Minkowski问题，并发展了新的分析技巧证明凸体非坍塌这个关键困难，从而证明了解存在唯一的充要条件。文章发表在微分几何顶尖期刊JDG上，已被引用30余次。系列成果发表在 JFA, IUMJ, AAM, PAMS和Acta Math Sinica上。 2. 在锥体积泛函和锥体积测度方面作出了系列原创性研究成果。例如，发现了“n维多面体的体积依据其任意n个外法向量张成线性空间的维数分解成n个n次齐次多项式之和”这个基本事实，且第n个多项式恰是凸几何学家E. Lutwak等2001年定义的U泛函。提出了体积分解泛函的极值问题，证明了极值问题与空间维数密切相关；建立了体积分解泛函的严格仿射等周不等式。文章发表在 Adv. Math上。系列成果发表在IMRN, DCG, BLMS上。3. 首次把凸几何中重要的几何工具投影函数与John椭球结合在一起，定义了投影平均椭球，证明了严格的仿射等周不等式。文章发表在纯数学国际著名期刊CVPDE上。所证明的结果被写入了凸几何经典教材、Gardner所著《Geometric Tomography》第二版的更新版中，且被杂志JFA 的Editor、以色列数学家E. Milman 被顶尖期刊JAMS 接受发表的文章引用。.. 本项目执行期间在纯数学重要期刊上共发表了17篇文章；支持了2名博士生和2名硕士生顺利毕业，继续支持着5名在读博士生和2名在读硕士生。 其中2名博士生荣获研究生国奖；2名博士生获得了“同济大学优秀博士论文”。申请人受邀参加 2021年在德国Oberwolfach举行的三年一次欧洲最高级别凸几何会议并做报告；受邀参加了2022年8月初在南京举行的第九届ICCM大会并做45分钟报告。 申请人邀请了国内外近40名专家做报告，也受邀做了近60个报告。

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