狄拉克-调和映照及其相关问题

Dirac-harmonic map, originated from the supersymmetric σ-model of the quantum field theory which is coupled by a harmonic map type field with a spinor field. Its equation is composed of a second-order elliptic system and a first-order elliptic system. Dirac-harmonic map has been widely concerned by many geometers and physicists, because it can be regarded as the generalization of harmonic map and harmonic spinor. The usual variational theory is no longer applicable since the functional associated with Dirac-harmonic map is unbounded from below. Therefore, the existence, regularity and uniqueness of Dirac-harmonic map become much more complicated, but they are also meaningful and have a high academic value. In this project, we intend to study the general existence of Dirac-harmonic map by using differential geometry, partial differential equations and other tools. First of all, we will study the longtime existence, convergence, the existence of the global weak solution and blowup analysis of Dirac-harmonic map heat flow to obtain the existence of Dirac-harmonic map. Secondly, we study the existence of a class of second-order elliptic quasilinear equations between Riemann surfaces to obtain the existence of Dirac-harmonic map between Riemann surfaces. Finally, we will study the existence of the magnetic geodesic on Riemann surface, so as to obtain the existence of Dirac-geodesics on Riemann surface.

狄拉克-调和映照源自量子场论中由调和映照型场和调和旋量型场耦合在一起的超对称西格玛-模型。它的方程由二阶椭圆型方程组和一阶椭圆型方程组耦合而成。狄拉克-调和映照受到诸多几何学者和物理学者的广泛关注，因为它可以看作调和映照和调和旋量的推广。因为狄拉克-调和映照对应的泛函没有下界，通常的变分法理论不再适用，所以研究其存在性、正则性、唯一性比较复杂，但同时也非常有意义，具有很高的学术研究价值。本项目拟借助微分几何、偏微分方程等工具来研究狄拉克-调和映照的一般存在性。首先,我们拟研究狄拉克-调和映照“热流”的长时间存在性、收敛性、整体弱解的存在性、爆破分析等，从而得到狄拉克-调和映照的存在性。其次，我们拟研究黎曼面间的一类二阶椭圆拟线性方程组的存在性，从而得到黎曼面间的狄拉克-调和映照的存在性。最后，我们拟研究黎曼面上的磁力测地线的存在性，从而得到黎曼面上的狄拉克-测地线的存在性。

本研究计划主要研究狄拉克-调和映照及其相关问题，研究内容包括：狄拉克-调和映照“热流”，一类二阶拟线性一致椭圆偏微分方程组以及黎曼面上的磁力测地线等。我们按照既定的研究计划，研究了黎曼面到凯勒流形的狄拉克-调和映照“热流”的收敛性问题。利用指标理论，我们计算了沿着映照的狄拉克算子零空间的维数，结合已知调和映照的存在性结果，我们得到了黎曼面之间的非耦合解的存在性。这一结果弥补了前人不能处理曲面之间狄拉克-调和映照存在性的遗憾。利用指标理论，我们进一步考虑了凯勒流形之间非耦合狄拉克-调和映照的存在性，将黎曼面之间的结果进行了相应的推广。最后，我们考虑了指标为零的情况，此时我们之前的办法是不能得到非耦合狄拉克-调和映照的存在性，为此我们通过细致的分析，发现可以引入一个同伦不变量来刻画指标为零时非耦合狄拉克-调和映照的存在性。与之有关的理论研究，我们正在进一步完善。与之有关的热流的收敛性也在进一步的分析讨论中。.此外，根据实际情况以及国际数学发展现状，我们还对若干相关几何问题进行了研究，主要包括：特征值估计，球面定理，刚性问题，平均场方程。比如：（1）我们得到了子流形狄拉克算子特征值的由共形不变外蕴量给出的最佳形式的下界，得到了某些子流形上的作用在微分形式的霍奇-拉普拉斯算子第一特征值的最佳外蕴下界估计，从而得到了若干子流形上最优的同调球定理；（2）我们得到了流形或者子流形在数量曲率与截面曲率夹击形况下的微分球面定理，大部分结果在某种意义下还是最佳的；（3）我们研究了一类特殊的高余维情形（勒让德子流形）的第二基本形式模长的第一间隙，得到了部分刚性结果，这是目前所知的第一个关于勒让德子流形的一般刚性结果；（4）我们考虑了单位实心球体内部中具有落于单位球面上的勒让德边界的极小勒让德子流形的刚性，并解决了类似于单球实心球体内带自由边极小超曲面的弗雷泽-李文俊猜想。

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