偏微分方程约束最优控制问题的区域分解方法

The aim of this project is to study the domain decomposition methods for optimal control problems constrained by partial differential equations. The numerical solution of PDE-constrained optimal control problems is now a hot research topic, while the efficient solving of the resulting linear algebraic system of discretized control problems is among one of the most important issues. In this project we intend to design the domain decomposition based preconditioner for the Krylov subspace algorithm to efficiently solve the PDE-constrained optimal control problems, and verify the efficiency of the proposed algorithms both theoretically and numerically. For optimal control problems governed by stationary PDE, we will construct a kind of domain decomposition preconditioned Krylov subspace methods to solve the first order optimality system, e.g., to solve the state and adjoint state variables simultaneously, such that the convergence of the algorithms does not depend on the mesh size and the regularization parameter. For time-dependent problems, we will design some time-domain decomposition methods to reduce the computational cost and for further purpose of parallelization, convergence issue of the algorithm will also be investigated. Furthermore, we intend to construct the space-time domain decomposition preconditioned Krylov subspace method to solve the first order optimality system of the time-dependent optimal control problems, such that its convergence is independent of the mesh size, the time step and the regularization parameter.

本项目拟研究偏微分方程约束最优控制问题的区域分解算法。偏微分方程控制问题的数值求解是国际上的热点研究方向，而对离散控制问题代数系统的高效求解是其中的一个核心问题。本项目拟对偏微分方程最优控制问题设计基于区域分解的预条件Krylov子空间算法，并从理论和数值上验证这些算法的有效性。对于定常偏微分方程约束控制问题，我们拟构造一类基于求解控制问题的一阶必要性系统的区域分解预条件Krylov子空间方法，同时求解状态变量和伴随状态变量，并使得求解器的迭代次数不依赖于网格尺寸和正则化参数。对于时间相关偏微分方程最优控制问题，我们拟构造一类时间区域分解算法，降低问题的计算规模并使得算法可以自然地并行，同时对算法进行收敛性分析。进一步地，我们拟在时空区域构造最优控制问题的一阶必要性系统的区域分解预条件子，使得求解KKT系统的预条件Krylov子空间方法的收敛性与空间网格尺寸、时间离散步长和正则化参数无关。

本项目名称为“偏微分方程约束最优控制问题的区域分解方法”，项目起止年限为2017年1月至2020年12月。本项目拟研究偏微分方程约束最优控制问题的区域分解算法。项目执行四年以来，我们完成了项目申请书的大部分任务。项目申请书中列出的研究任务和目标得到了较好的执行和完成，取得了预期的进展，个别方向还需要进一步的后续研究来加强，特别是关于鞍点问题区域分解算法的收敛性分析，目前还是领域内的公开问题。我们同时在相关的偏微分方程最优控制问题的数值离散及偏微分方程形状优化领域进行了合理的扩展，关注了近年来的热点研究方向，并且在这些方向取得了重要进展。. 围绕项目主要研究内容和总体目标，我们在以下几方面取得了重要进展：1）在偏微分方程最优控制问题的预条件算法方面，对于目标泛函中包含状态观测及状态梯度观测的一大类椭圆最优控制问题，提出了一类块对角预条件子。我们证明了预条件后代数系统的条件数不仅和网格离散参数无关，还和正则化参数无关，从理论上证明了预条件子的最优性。2）对于求解椭圆方程最优控制问题的Schwarz交替区域分解算法，我们基于极大值原理证明了状态变量和伴随变量在最大模范数下的收敛性，结论对于五点差分格式也成立。我们给出了Schwarz交替算法收敛率的一个上界，其由求解相应椭圆方程的Schwarz交替算法的收敛率所控制，并且不依赖于正则化参数。3）我们提出了一类求解发展方程约束的最优控制问题的parareal算法。最优控制问题的一阶最优性系统包含状态方程和伴随方程，构成了两点边值问题，我们提出了求解时间相关最优控制问题的时间区域分解并行算法。我们证明了算法的收敛性，并把算法推广到具有点态控制约束和非线性方程约束的控制问题。在相关的偏微分方程约束优化问题的数值方法研究方面，我们在偏微分方程Dirichlet边界最优控制问题的理论与算法，无界区域波动方程最优控制问题以及偏微分方程约束形状优化算法等方面也取得了重要进展。. 在项目执行期间，课题组共发表论文7篇，其中有4篇文章发表在数值分析与计算领域的顶级期刊上，如《IMA J. Numer. Anal.》，《SIAM J. Numer. Anal.》，《Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.》等。还有7篇标注资助的论文投稿到国际权威SCI期刊。

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