非光滑系统全局动力学及其应用研究

By methods of topological dynamical systems and ergodic theory, we will investigate the structure and birth mechanism of strange attractors and strange non-chaotic attractors (SNA) in non-smooth systems. Using the qualitative and bifurcation theory of dynamical system, Moser twist map theorem and variational methods, we will investigate global bifurcation and some special types of bifurcation in non-smooth dynamical systems. The singularity caused by grazing motions in vibro-impact systems will be analyzed, and the existence and ergodicity of the Sinai-Ruelle-Bowen measures (SRB measures) of the strange attractors of the normal forms will be determined. The basin of strange attractors will be computed, and the process of formation and evolution of various unstable invariant sets embedded in attractors will be revealed. The Hausdorff dimension, metric entropy and Lyapunov exponent will be computed, and their relationship will also be discussed. The birth mechanism and the global dynamical behavior of strange non-chaotic attractors in vibro-impact systems will be described. We will investigate the global dynamics of gear transmission systems (including the crisis and its intermittency), and obtain the foundation for the optimal design of gear transmission system. The relationships between grazing dynamics, crisis dynamics and the strange non-chaotic dynamics in non-smooth systems will be discussed. This project will promote the further development of the global dynamical theory and the applications of non-smooth systems.

通过拓扑动力系统和遍历理论，研究非光滑动力系统的奇异吸引子和奇异非混沌吸引子（SNA）的结构及其诞生机理。利用动力系统的定性理论与分岔理论，以及Moser扭转映射定理和变分法，研究非光滑动力系统中的全局分岔与特殊分岔。分析碰撞振动系统由擦边运动导致的奇异性，确定范式映射的奇异吸引子的Sinai-Ruelle-Bowen测度（SRB测度）的存在性和遍历性；计算奇异吸引子的吸引域，揭示镶嵌在吸引子中的多种不稳定不变集形成和演变过程；计算奇异吸引子的Hausdorff维数、测度熵和Lyapunov指数，并讨论它们之间的关系。描述碰撞振动系统中奇异非混沌吸引子的诞生机理及全局行为。研究齿轮传动系统的全局动力学（包括激变及阵发性动力学等），为齿轮传动系统的优化设计提供依据。探讨非光滑系统中擦边动力学、激变动力学和奇异非混沌动力学之间的关系。该项目将进一步推动非光滑系统全局动力学理论与应用研究的发展。

通过大范围变分方法，证明了Fermi型碰撞振子和单自由度分段光滑系统中Aubry-Mather集的存在性。利用KAM理论和Aubry-Mather理论，研究了几类经典的低维非光滑哈密顿系统，如双面碰撞振子、呼吸台球和双面碰撞倒摆等，证明了这些系统中拟周期运动和不变环面的存在性，表明这些系统具有一定的全局稳定性。分析了单自由度干摩擦自治振子全局动力学，利用相位映射描述干摩擦受迫振子的动力学，证明了正向不变环面的存在性，讨论了擦切轨道的存在性与环面破坏之间的关系。构造了Nordmark映射的马蹄，证明了其双曲集和SRB测度的存在性。给出了一类分段光滑平面映射Hausdorff维数的精确表达式。证明了一类非光滑弱Hamilton系统的广义Liouville定理。证明了一类平面拟周期斜乘积映射奇异非混沌吸引子(SNAs)的存在性，刻画了其处处不连续的奇异性特性。研究了准周期驱动分段光滑映射具有无穷多个SNAs存在的参数区域，发现在每个参数区域的边缘环面因鞍结分岔导致SNAs诞生。发现了平面非光滑映射中吸引域的反转现象，描述了吸引域边界的拓扑结构，以及Wada集、吸引域的类型和分形特性。研究非光滑和碰撞振动系统中SNAs存在性，分析了这类系统中SNAs形成过程中的Farey树特性，讨论边界碰撞、擦切和环面碎化对SANs形成的影响。进一步讨论了随机噪声对非光滑系统中SNAs存在性的影响。.通过相空间与参数空间关联研究，揭示了碰撞振动系统周期解与环面解共存及演变规律。分析齿轮转动系统、微震成型机、轧机辊系系统和船舶横摇系统的全局动力学。推广了高维非光滑系统中Hopf分岔理论，分析了列车轮对系统蛇行问题，进一步研究了该系统由双擦运动进入混沌的途径。研究了弹性体碰撞振动系统和系泊塔模型等复杂系统中SANs存在性问题。分析了列车车轮多边形现象成因和机理，以及列车非线性悬挂系统周期解的稳定性与鞍结分岔集问题。建立了立管涡激振动联合共振模型，估计了该模型最大振幅的范围。结合自适应混合引力搜索算法，对不依赖受控系统精确模型中混沌运动进行了智能优化控制，现实了将其控制为规则的周期运动。

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