基于Lévy噪声的随机非线性动力学研究及典型生物系统应用

Lévy noise which can describe the big jumps and heavy tails is one of the significant random fluctuations with examples of Gaussian and Poisson noises, while the current situation of stochastic dynamics is mainly to deal with Gaussian noise to model small distrubations. In this project, we are devoted to investigating stochastic dynamics driven by Lévy noise and estiblishing the theoretical framework including maximum Lyapunov exponent, the linearized method, averaging principle and stability theory; developing new analytical methods of stochastic Lévy nonlinear systems and proposing new and efficient numerical algrithms of fractional FPK equation which is the key step to obtain probability density functions. Some typical sytems such as Duffing oscillator and Lorenz system will be taken as examples to examine the stochastic bifurcation, stochastic resonance and mean first passage time, and then to find the influences of the noise intensity, stability index and skewness parameter on the dynamical behaviors, and the aim is to observe the different mechanisms between Lévy and Gaussian cases. Finally, based on the results of Lévy noise-induced-dynamics and the simple 1-dimensional biology systems, for instance, tumor growth model and gene transcriptional regulatory system, we explore and develop the 1-dimensional theory to 2-dimensional or high dimensional systems even network model, to illustrate the rules of biological evolutions, and demonstrate the applications of stochastic dynamics in biology.

Lévy噪声是一类涵盖高斯与泊松噪声的、能够描述跳跃现象的重要随机扰动，而当前随机动力学主要局限于刻画微小波动的高斯噪声。本项目以Lévy噪声驱动下的非线性系统为研究对象，拟建立包括Lyapunov指标、线性化理论、平均原理和稳定性理论的随机动力学理论框架；发展新的适用于Lévy噪声下随机动力学系统的解析方法，构建新的分数阶FPK方程的数值算法；以经典Duffing与Lorenz等非线性系统中Lévy噪声激诱导的分岔、随机共振和平均首次穿越时间等研究为切入点，重点讨论Lévy噪声的噪声强度、稳定性指标以及偏斜参数对随机动力学演变的影响和机理；利用Lévy情形下随机动力学系统的理论和方法，在一维肿瘤增长模型和基因调控模型等生物系统的研究基础上，进一步讨论二维和高维以及网络模型下的生物系统，揭示生物系统的发展规律与演化过程，推动Lévy扰动下随机动力学的理论发展和工程应用。

项目研究了Lévy噪声激励下非线性系统的随机动力学及其在几种典型生物系统中的应用。按照研究计划，完成了Lévy噪声激励下的平均原理、渐进求解、动力学跃迁以及典型生物系统的应用等研究。具体的有：.1)初步建立了Lévy 情形下的随机动力学理论框架，提出了多种类型随机动力学系统的随机平均原理，证明了其解的存在唯一性和稳定性问题。.2)发展了一类分数阶随机动力学系统的渐进分析方法，有效的解决了其响应求解和分析问题，理论求解了一类随机动力学系统的平均首穿时间与响应问题。.3)针对随机动力学问题中典型的随机跃迁包括随机共振和首次穿越时间等问题，开展了系统深入的研究，揭示了Lévy 噪声下系统随机非线性动力学的演化规律，阐述了非线性系统的内部激变与噪声参数之间的关系，发现了不同于经典高斯噪声的动力学现象和作用机理。.4)在以上研究的基础上，将Lévy噪声应用在了经典的神经元FHN模型和基因Toggle Switch模型中，利用数学模型探索了噪声在生物系统演化发展中的影响，对实现生物系统的准确预测和调控提供了潜在理论支撑和指导。.在该项目支持下，通过项目组努力，获得1项软件注册权，申请3项发明专利（已授权1项）；举办了7场国内外学术会议，邀请33人次国内外专家学者来校讲座，支持项目组成员7人次前往美国和德国等进行交流访问和学习，143人次参加学术会议，培养硕士毕业生14人，博士毕业生2人，资助1名博士后；在Physical Review E，Chaos，Nonlinear Dynamics，Journal of Physics A，IJBC，JSV和中国科学等国内外期刊发表论文28篇，其中SCI 收录26篇；项目执行期间，培养的研究生获得陕西省研究生创新成果展二等奖2项（2015，2016）和多次国家奖学金，项目主持人获得2016年度德国洪堡基金高级研究学者项目，以第1完成人获得获2016年度陕西省科学技术一等奖。

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