模形式的算术应用及相关L函数的亚凸界问题

The study of automorphic forms is very important in analytic number theory. The Hecke eigenvalues of modular forms often contain interesting arithmetic information and the associated L-functions have a central role in the well-known Langlands program. The importance of these L-functions can also be seen as two of the seven Millenium prize problems are related to the study of these L-functions, the problems being Riemann hypothesis and BSD conjecture...In this project, we will investigate the subconvexity problem of Rankin-Selberg L-functions of two holomorphic cusp forms, as well as various sums that connect certain modular forms to interesting arithmetic problems such as the congruent number problem. The key tools to be used in the investigation include the theory of multiple shifted Dirichlet series developed by Hoffstein and Hulse, as well as Zagier regularization, along with the standard relevant formulae such as Petersson trace formula and Voronoi formula...Through this project, we aim to obtain a better subconvexity bound of the Rankin-Selberg L-function in the level aspect, as well as more precise expressions for specific sums that serve as the link between modular forms and interesting arithmetic problems.

自守形式是解析数论中一个重要的研究范围。不少模形式的Hecke特征值往往拥有重要的算术含义，而且与这些模形式相关的L-函数更在Langlands纲领中扮演着重要的角色。数学界著名的七个“千禧年大奖难题”中有两个就是关于这些L-函数的，可见这些L-函数的重要性。..在这个项目中，我们将会研究由两个解析尖形式产生而成的Rankin-Selberg L-函数的亚凸界问题，以及一些特别的和式。这些和式把一些算术问题与模形式的关系联系起来。在这个项目的研究中，主要工具包括由Hoffstein和Hulse发展的multiple shifted Dirichlet级数的理论、Zagier常规化技巧与其他标准的相关公式，如Petersson迹公式和Voronoi公式。..这个项目的目标是对上述的亚凸界问题，在级的方向获取一个更好的上界；而对上述的和式则获得更精确的表达式。

项目主要对以下三个部分进行了研究：.1. 近年来，高阶自守L函数渐渐成为研究的热门方向，不少适用于研究GL(2)自守形式的方法被推广到高阶情况。我们使用了MDS理论研究GL(3)的自守形式识别问题，以及Munshi的圆法研究多方面的同时亚凸界问题。.2. 关于theta函数的shifted convolution的应用。我们研究了经典高斯圆问题的误差项，对其误差项的二次矩给出了比前人更优的power-savings。.3. 对于GL(2)上尖形式的triple correlation问题。我们采用了多重Dirichlet级数的角度研究这个问题。在过程中，我们给出了相关多重级数的复性质，并将此转化为triple correlation问题的渐近公式。此方法的优点是适当修改后，可用theta函数取代尖形式，从而得到一个有关于经典同余数问题的结论。

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