奇异双曲系统的动力学性质研究

Hyperbolicity is a central concept in differential dynamical system. For both discrete and continuous (flows) systems, hyperbolicity implies rich dynamics such as structural stability, pseudo orbit tracing property and sensitive dependence on initial conditions. In contrast to the discrete setting, there is a striking Chaotic dynamics in flow theory that is quite stable but not exactly structurally stable, notably the famous Lorenz attractor. In 2002, C. Morales, M. Pacifico and E. Pujals raised a theoretical characterization for this kind of dynamics, called singular hyperbolicity, which has become one of the highlights of research in recent years. So far most works have concentrated on what dynamics will imply singular hyperbolicity. There are little wroks on what dynamics will be implied by singular hyperbolicity. In this project, we will study the dynamics of general singular hyperbolic set, especially in the pseudo orbit tracing property, expansivity.

双曲性是微分动力系统中的一个核心概念。无论是对离散动力系统还是对连续动力系统即流(flow)，双曲性都蕴含了非常丰富的动力学性质，例如结构稳定性、伪轨跟踪性、对初值的敏感依赖性等等。对连续动力系统，更有一种离散系统所不具有的、动力行为颇为稳定但不真正结构稳定的混沌现象，以著名的Lorenz吸引子为代表。在2002年，C. Morales，M. Pacifico 和E. Pujals 对这种动力行为提出了一种理论上的刻画，称为奇异双曲性，成为近年来微分动力系统研究的一个重要热点。但目前这方面的工作大都局限于研究什么样的动力学性质能得到奇异双曲性，而对于奇异双曲性蕴含什么样的动力学性质，得到的结论很少，大体上只局限在低维情形。在本项目中，我们将对一般的、高维情形的奇异双曲性蕴含什么样的动力学性质进行研究，主要着眼于伪轨跟踪性，对初值的敏感依赖性等。

如项目申请书所述，本项目将研究流的奇异双曲性及其相关的动力学性质，主要涉及伪轨跟踪性以及可扩性等几何性质。在研究过程中我们完成了一下主要工作：1. 对某种弱双曲性下的伪轨跟踪性进行了研究，将廖山涛典范方程组理论中的准双曲轨弧的封闭理论推导到流的情形的跟踪理论；2. 对具有多重奇异双曲性的集合的可扩性进行了研究，证明了多重奇异双曲性蕴含一种重整可扩性；3. 对奇异双曲性的等价刻画进行了研究，给出了一个传递集上使用庞加莱流刻画奇异双曲性的等价条件；4. 对奇异双曲系统的通常意义的伪轨跟踪性进行了研究，证明了链传递的奇异双曲集如果有伪轨跟踪性，则一定双曲且不含奇点，进而将该结论运用到星号流中证明了星号流如果具有伪轨跟踪性则一定满足公理A加无环条件；5. 对Banach空间中Lipschitz向量场的流盒进行了研究，发现了Banach空间中Lipschitz向量场也可以定义流盒，并且流盒的大小具有下面的“相对一致尺寸”。

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