可分范畴中的相对同调理论和低阶K-理论

In this project, we will introduce the new concept of double Gorenstein subcategories and investigate the relative Tate cohomology. We will establish some new homological dimensions and extend the classical homological theory. We want to seek new resolving subcategories and study some properties of important resolving categories. We will divide some useful resolving subcategories and give the relationships between some important resolving subcategories. We will set up the new torsion theory and cotorsion theory by introducing the new concept of G-tilting pairs，and explore the existence of minimal approximations of some relative subcategories. We will generalize the classical tilting theory and the classical Wakamatsu tilting theory. We will study the stability of some important resolving subcategories under the extensions of some algebras (rings). From this, we may get some properties of some important algebras. For some important exact subcategories, we intend to construct their low K-groups. By using the methods in homological algebra and order theory, we will look for some new characters of K0-groups and K1-groups and the relations between these characters and other algebraic invariants. Moreover, we also research the connecting maps in K-groups of C*-algebras and seek new methods for lifting projections and units in C*-algebras and for K1-injectivity and K1-surjectivity by using the six term exact sequence of the C*-algebra. At the same time, we want to look for effective methods of solving some relative famous conjectures.

在本项目中，我们将引入双Gorenstein子范畴等新概念，探讨相关的Tate上同调，建立新的同调维数，统一和推广经典的同调理论；探寻新的可分子范畴，研究一些重要的可分子范畴的性质，达到对一些具有应用前景的可分子范畴的分类以及给出某些重要的可分子范畴之间的关系；通过G-倾斜对等新概念的引入，构造新的挠理论和余挠理论，讨论相关子范畴极小逼近的存在性，推广经典的倾斜理论和Wakamatsu倾斜理论；研究一些重要的可分子范畴在代数（环）扩张下的稳定性，由此获得一些重要的代数的结构和性质；对一些重要的正合范畴建立其相应的低阶K群，利用同调代数和序结构理论中的方法，寻找K0、K1群的新特征以及这些新特征与其它一些代数不变量之间的联系；利用C*-代数中的循环六项正合列研究其上K群的连接映射，探索解决C*-代数中的投影、单位的提升以及K1的单满性等问题的新方法。同时探寻解决一些相关著名猜想的有效方法。

本项目利用严格Mittag-Leffler条件研究了Gorenstein模和一些常见环类，给出了某些重要的环（代数）的新刻画；得到了Gorenstein投射模和Gorenstein平坦模的新联系，取得了一些有理论价值的成果。其次，我们比较了由不同的Proper分解产生的相对上同调，在某些情况下给出了消除这些区别的准则，并证明这与广义Tate上同调理论有关；我们还证明了不同的同调所得到的平衡性质在某些情况下是等价的；一些经典的结果等到了统一和推广。第三，引入了相对于一般可分子范畴和任意有限生成双模的相对转置概念，得到了范围更广的AR-序列，把Auslander-Reiten转置推广到了更一般的情形；对于给定的两个等价类和任意一个双模，通过Hom函子和Tor函子以及范畴表示，构造了更多的新等价类，并得到了相对转置和这些新等价类之间的一些关系，一些经典的结果得到了好的推广。第四，通过对Abel范畴粘合的研究，得到了各个范畴的可解分解整体维数的关系；并且给出了一些例子和相关的应用，从而说明一些已知的结论可以看着是我们的结果的特例。最后，作为倾斜模的推广，我们引入了弱倾斜模的概念，并证明所有的倾斜模是弱倾斜模，但反之不真；进一步地得到：一个模是弱倾斜模当且仅当它的特征模是余倾斜模。弱倾斜模概念的引入拓宽了倾斜理论讨论的渠道，促进了倾斜理论的深入研究。

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