渐近展开方法在金融计量与金融工程中的应用

Continuous-time models have demonstrated their indispensable roles in describing the laws in various random phenomenon in nature and science. However, their applications in financial econometrics and statistics started to attract significant research interests since merely about a decade ago. A milestone is the groundbreaking work of Ait-Sahalia (1999, 2002, 2008), which proposed to use approximated likelihood functions to perform maximum likelihood estimations for diffusion and jump-diffusion models. Such an idea provided a refresh perspective for the research in financial econometrics and even beyond. Motivated by some open questions arising from the literature, e.g., how to establish effective and fully closed-form asymptotic expansions for the likelihood functions (transition densities) of the so-called irreducible diffusions and jump-diffusions, we will introduce novel methods for performing approximate density (likelihood) based statistical inferences and apply the resulted econometric tools in theoretical and empirical analysis of derivative pricing models. Meanwhile, by developing similar quantitative methods, we will also investigate a broad range of issues in financial engineering, e.g., derivatives pricing and risk management.

当前，连续时间随机模型由于其丰富的理论背景，日益彰显其在诸多自然与社会科学量化研究领域不可替代的作用，然而此类模型在金融计量和统计推断领域中的发展仅从近十年开始, Ait-Sahalia (1999,2002,2008) 创新性地开辟了基于逼近的似然函数实施极大似然估计的重要方法，但正如历史上任何一个新理念的引入一样，该方法在具体的理论和应用中仍亟需改进和完善。在此课题中，我们深入本质，发展一系列全新的基于扩散（diffusion）和跳跃-扩散(jump-diffusion)过程转移密度的完全显式近似的金融计量（包括相关的统计推断）和金融工程方法。经过过去2年的努力探索以及与该领域著名学者的探讨和学习，我们将Malliavin-Watanabe随机分析理论应用于金融计量经济学和金融工程学的诸多问题中，例如，极大似然估计等依赖转移密度的统计推断问题和金融衍生品定价等相关课题。

当前，连续时间随机模型由于其丰富的理论背景，日益彰显其在金融计量和金融工程研究中的重要作用。在本项目中我们创新性的解决了如下几个金融计量和金融工程中受到广泛关注的重要问题。一，基于Malliavin-Watanabe随机分析理论，给出一种全新的对于一般扩散过程模型(diffusion model)转移密度的完全显式的渐近展开逼近, 进而将其应用于模型的极大似然估计。二，对于一般扩散过程模型，给出一种关于期权期限的，对于期权价格的显式渐近展开逼近。三，对于一般扩散过程模型，给出一种对于离散观测的亚式期权(Asian option)价格的显式渐近展开逼近。 四，给出一种对于离散观测的方差互换（variance swap)定价的渐近展开逼近。五，给出一种对于随机波动率模型（stochastic volatility）的等价局部波动率函数（local volatility function）的渐近展开逼近。六，发展一种非线性动量量化交易策略。七，对于择时期权(timer options)，在著名的Heston随机波动率模型下，给出一种解析的定价公式。这些问题的解决，不仅推动了相关领域的学术研究，而且对于量化金融实践具有促进作用。

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