结构化线性方程组的快速求解及其在图像处理中的若干应用

The research on the ill-posed problem of digital image processing is a hotspot in the field of image processing and computer vision. It is not only widely used in many fields such as scientific and engineering computations, but also a subject closely related to the national economy and people's livelihood. It brings huge social and economic benefits to human society. This project discusses the fast solution method and convergence theorey of large discretized linear systems arising from image deblurring, image denoising and Cahn-Hilliard image restoration. We will use structures and characteristics of image processing problem to design stable and efficient preconditioners. Moreover, the convergence of the corresponding iteration methods will be analyzed, and the effectiveness and stability will be verified by numerical experiments. On one hand, we hope to improve the quality of restoration, on the other hand, we hope to reduce the computational complexity and algorithm complexity involved in the process of image restoration. The research of this topic not only can enrich and develop the existing image processing models, but also can provide theoretical basis for the application of compressed sensing and image reconstruction, as well as promote the further development of image digital processing.

数字图像处理的不适定问题的研究是当前图像处理和计算机视觉领域中的一个研究热点，不仅在科学和工程计算中的许多问题等领域有广泛的应用，而且也是一个与国计民生紧密相连的学科领域。给人类社会带來了巨大的社会效益与经济效益。本项目基于图像去模糊、图像去噪以及Cahn-Hilliard 图像修复这三类问题，探讨其离散化后的大型线性方程组的快速求解方法以及收敛性研究，使得优化模型更加符合具体实际问题。利用图像处理问题本身的结构和特性来构造稳定、高效的预处理迭代算法，从理论上分析相应的迭代算法的收敛性，并从数值实验上验证其有效性和稳定性。一方面希望能够提高恢复的质量，另一方面希望能够减少图像修复过程所涉及的计算量和算法的复杂度。通过本课题的研究不仅可以丰富和发展现有的图像处理模型，还可为压缩感知和图像重建等应用问题提供理论依据，促进数字图像处理的进一步发展。

数字图像处理的不适定问题的研究不仅是我们计算科学关注的重点，同样是其他科学领域完成各自工作任务的关键环节。不管是在理论知识方面，还是在算法的设计及软件开发方面，国内外众多学者针对不适定问题的研究的开展了大量的研究工作并取得了一系列的进展。然而，尽管如此，这一领域仍有不少工作需要研究。本项目我们主要针对几类图像恢复问题以及带PDE约束控制的优化问题，利用问题本身的结构和特性，设计了相应的预处理迭代算法。我们从理论上分析了这些迭代算法的收敛性和有效性，并从数值实验上验证其有效性和稳定性，确实可以减少算法计算量和所需耗费的时间，具有重要的意义。

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