微分几何观点下控制系统的反馈不变性研究

The project aims at solving the problem of lack of feedback invariance of control theoretic constructions in traditional research, which is due to the explicit and fixed parameterization of system dynamics by control. In this project, we study the problem of feedback invariance for different subclasses of control systems by using the tool of differential geometry and investigating the geometric structure of control systems. For affine control systems, existing results on local controllability are studied from the view point of feedback invariance. For port Hamiltonian systems, the structure of feedbacks that preserve the Dirac structure are studied; Integrability of the generalized Dirac structure of port Hamiltonian systems are investigated under the role of feedback; Further, the conditions for stabilisability of port Hamiltonian systems that satisfy feedback invariance are given. For tautological control systems, the conditions for local controllability are established, which satisfy feedback invariance due to the modeling framework that models systems in a manner that does not make any choice of parameterization by control. Our research is important for improving the control theory itself, and promoting interdisciplinary studies of control theory, differential geometry and geometric mechanics.

本课题的研究旨在克服传统控制研究中由系统模型的控制参数化所带来的控制构造不满足反馈不变性的缺陷。课题利用微分几何工具，从系统结构角度入手，来研究不同类型控制系统的反馈不变性问题：1）针对仿射控制系统模型，从反馈不变性角度研究已有的局部可控性结论，给出满足反馈不变性的局部可控性条件；2）针对端口Hamilton系统模型，研究其保Dirac结构的反馈变换，研究对应的Dirac结构的可积性问题及其在反馈变换作用下的变化，进一步，给出端口Hamilton系统满足反馈不变性的可镇定性条件；3）针对tautological控制系统模型，建立其可控性条件，并依据系统模型本身不含参数化的特点，说明可控性条件直接满足反馈不变性。本课题的研究对于促进控制理论本身的进一步完善，促进控制理论与微分几何以及几何力学领域的学科交叉具有一定的意义。

本项目针对流形上具有反馈不变性的控制系统结构，研究了其几何理论。主要取得了三个方面的成果：（1）通过引入广义分布的受控不变性的概念，完善了前人关于光滑流形上仿射控制系统的抽取问题的相关结论。针对对象均为实解析的情形，指出了仿射控制系统保结构抽取问题解的存在性；（2）针对受控不变性问题，通过引入相关定义，澄清了长久以来存在的概念误区； 在受控不变分布正则的情形下，彻底解决了几何控制论中的重要概念——仿射控制系统的局部受控不变性的刻画问题，通过部分联络等概念展示了问题内蕴的几何结构。在实解析情形下，给出了受控不变的广义仿射分布的局部结构刻画。针对全局受控不变性问题，分别针对对象光滑和实解析两种情形，建立了广义仿射分布全局受控不变性与局部受控不变性之间的联系。针对带有恰当李群作用的光滑流形，刻画了其上满足全局受控不变性的光滑广义仿射分布的几何结构；（3）将广义仿射分布的受控不变性这一概念推广到代数胚结构上，给出了Courant代数胚上的广义仿射子丛的不变性刻画。项目成果对几何控制的基础理论做了完善，促进了微分几何与控制理论的交叉融合。

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