一类带对流项的反应扩散系统的定性分析

This projection is devoted to study the qualitative behaviors of certain.Reaction-diffusion systems with advections. One of the major problems in biology and ecology is to study the aggregation through cellular chemotaxis through certain chemical in the environment, and the coexistence or segregation through predations or inter-specific competitions. Qualitative analysis of these models provides with theoretical evidence to the dynamical rules of species distributions. On the other hand, the complexity of the mathematics involved within these systems makes their theoretical analysis very interesting, therefore attracted global attention from many mathematicians and scholars..The reaction-diffusion system to be investigated in this project is system of.coupled quasi-linear parabolic-parabolic PDEs. We are concerned with the global.existence to the parabolic system and the qualitative analysis of the.corresponding elliptic system. In particular, the application will probe the.following questions: .(1) global-in-time existence of the parabolic system; .(2) existence and stability of non-constant positive steady-states of the elliptic system; .(3) asymptotic behavior of the steady states with large parameters and the existence and stability of steady states with patterns such as boundary.layer, spikes, etc. .These patterns can be used model the aforementioned biological and ecological phenomena.

本项目拟研究某一类带交错扩散对流项的反应扩散系统的定性行为。生物学和生态学中重要的问题之一是研究单一物种在周围环境影响下通过趋化性产生的聚集现象，或者多物种间通过捕食竞争等相互作用所产生的中区共存隔离现象。一方面，对生物数学和生态数学模型的定性分析为研究种群动态分布的规律提供了重要的理论支持。另一方面，这类系统复杂的数学结构使得它们的理论分析变得具有挑战，引起了国际上许多理论数学家，应用数学家以及众多数学工作者的极大关注和兴趣。本项目考虑的反应扩散系统是一组耦合的拟线性抛物偏微分方程，我们主要研究这类抛物系统整体解及其椭圆稳态解的定性行为。特别地，申请人主要研究并解决以下的问题：.（1）抛物系统全局时间的整体解存在性；.（2）椭圆系统非常数正稳态解的存在性及稳定性；.（3）稳态解在大参数下的渐进行为以及类似边界层边峰等模式稳态解的存在性和稳定性。这类带模式的稳态解可用于模拟上述现象。

反应扩散方程最初是用于描述化学反应中物质的时空动态演化,其机制和物种与物种之间、物种与环境之间的相互作用规律有许多相同或相似之处。本项目研究了一类交错扩散系统的定性性质，包括全局适定性，稳态解的存在性、稳定性，周期解的存在性、稳定性等重要的特征。本项目研究的这类系统能够用于描述生态学和生物学中的群体动力学行为，如生态系统中的种群隔离、种群灭绝等现象。. 在本项目资助下，项目负责人研究以下几类交错扩散模型：种群竞争模型、种群捕食模型、细菌趋化模型。通过分析这类交错反应扩散系统稳态解的模式形成、集中现象等定性性质，我们研究了上述生态学和生物学现象产生的机制；另外，我们还将这类交错扩散系统扩展用于模拟城市犯罪以及社区盗窃中，分析了犯罪热点现象产生的背景和原理。. 在数学理论方面，本人近年的研究发展了Crandall-Rabinowitz的局部以及全局分叉理论。通过细致地研究分叉解的稳定性以及系统参数（例如交错扩散系数）对之产生的影响，本项目支持的相关研究完整地阐述这类系统的局部动力学性质，建立这类系统的定性理论-我们称之为波形选择机制(wave mode selection mechanism),并以此我们能够完整地找到产生模式解、周期解等局部动力学行为的根本性原理。. 作为跨领域的学科，本项目关于生物学和生态学问题的研究使得这类数学模型有了新的、更广泛的理论和实践平台，为生态系统周期性演化的产生机制提供了重要的理论和实践指导意义，也为这些学科的发展提供了更鲜活的生命力；与此同时，项目研究过程中也产生了许多重要的、富有挑战的数学问题，为数学学科特别是抛物型和椭圆型偏微分方程领域的发展提供新的生长点，推动其向前发展。

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