生物电磁成像中一类非线性椭圆型方程反问题的数值分析与计算

Electromagnetic imaging is an important field in mathematics and physics. Especially, a new medical imaging technique called magnetic resonance electrical impedance tomography (MREIT) is a research hotspot in recent years, with the physical backgrounds of reconstruction the interior electrical properties of a conducting object from some measurement data of electric currents given inside the medium. From mathematical point of view, this is a kind of coefficients inverse problems for elliptic equations, with the difficulties coming from the ill-posedness and nonlinearity. In this project, we will give numerical simulation and analysis for 3-dimensional electrical impedance tomography based on magnetic resonance imaging in the perspective of actual mathematical model. We mainly study the reconstruction algorithms of MREIT with anisotropic conductivity based on the Tikhonov regularization theories and methods, variational method, output least squares, iterative optimization and differential-integral equation method. Moreover, a modified symmetric finite volume element method is proposed solving direct problems at each iteration to lower the computational scale of the reconstruction algorithm. Some numerical experiments are presented to show that the algorithms are effective for the reconstruction. On the other hand, we also discuss reconstruction algorithms for anisotropic conductivity based on induced current magnetic resonance electrical impedance tomography. Our aim is to provide theoretical analysis and effective numerical methods for the MREIT problem. The study on these problems is very important in practice.

磁共振电阻抗成像(MREIT)是数学物理中的重要研究方向，它在生物医学领域有着非常重要的应用价值和应用前景。物理上是利用介质内的部分电流信息重构生物组织的电参数，从数学角度看，这是一类椭圆型偏微分方程系数反问题，难点在于问题的非线性性和不适定性。目前关于各向异性MREIT的理论分析和重构算法的研究还很少，本项目我们将从实际的数学模型出发，结合Tikhonov正则化和NOSER正则化两种方法混合的正则化方法，给出基于电流密度的迭代优化算法重构出各向异性电导率分布，同时给出一种修正的对称有限体积元方法对每一步迭代中的正问题进行求解，大大降低迭代算法的计算规模。通过数值模拟验证算法的可行性和有效性，并对算法的收敛性进行分析。本项目对于深入研究各向异性MREIT的稳定有效的重构算法具有重要的实际意义。

磁共振电阻抗成像（MREIT）是数学物理中的一个重要研究方向，它不仅是生物医学工程领域的重要研究课题，同时在地球物理探矿、工业无损检测、水下目标探测等领域中也有着非常重要的应用价值和应用前景。物理上是利用介质内的部分电流信息重构生物组织的电参数，从数学角度看，这是一类椭圆型偏微分方程系数反问题，难点在于问题的非线性性和不适定性。本项目我们首先针对线性不适定问题中的第一类Fredholm积分方程和非线性不适定Hammerstein积分方程，给出了两种形式的加速Landweber迭代法，通过数值实验显示修正的Landweber迭代法可以更有效的加快收敛速度，减少计算机运行时间，同时研究了迭代法在一般条件下的局部收敛性。此外，由于目前关于各向异性MREIT的理论分析和重构算法的研究还很少，本项目我们从实际的数学模型出发，基于吸收的Morozov偏差原理，采用Tikhonov正则化和NOSER正则化两种方法组合的混合正则化方法，给出了基于电流密度的迭代算法重构出各向异性电导率分布，并利用信赖域方法——Levenberg-Marquardt方法迭代选取正则化参数，从而对算法进行优化，使重构过程更加稳定。同时在每一步迭代中给出了一种修正的对称有限体积元方法对正问题进行求解，利用体积元格式的对称性和特殊的电流基向量简化Jacobi矩阵的计算，将每次迭代中需要求解的正问题的个数降到最低，大大降低迭代算法的计算规模。通过数值模拟验证了算法的可行性和有效性，并对算法的收敛性进行分析。最后我们以电流替代算法为基础，研究了激励式磁共振电阻抗成像（IC-MREIT）算法。通过本项目的研究，能实现电磁学成像算法的进一步改进，并在一定程度上推动生物电磁成像技术的发展。

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