非线性偏微分方程的最小二乘谱方法及在间断问题计算中一些应用

The nonlinear problem is widespread in the social prolem. The nonlinear model can be applied to the simulation of the actual problem more widely by an efficient numerical method. Spectral/spectral element method have been applied to solving the nonlinear partial differential equation widely. Some achievements about the coupling Legendre Chebyshev least squares method for the partial differential equation have been given. Numerical experiments show that the method is effective. In this project, we apply the least-squares spectral method to solve nonlinear partial differential equations and the related problems with discontinuity. The main aim is to design the approach with the characteristic, such as fast computation and good stability. The coercivity and continuity of the method are proved and an error estimate is derived. Another, for the problem with discontinuity, we develop the multidomain spectral approximate scheme. Further, the indicatrix is given by posteriori error estimate, the hp adaptive spectral element method is designed by combining triangular element with rectangular element. Our ultimate aim is to apply these methods to solve the nonlinear partial differential equation in the area of quantum mechanics and fluid mechanics, and so on. With the nonlinear, it leads to some trouble in its computations, and it increases the difficulty of numerical analysis. By using the fast transformation technique, the fast calculation algorithm is designed, reduce the calculation cost, improve the calculation efficiency and reliability

非线性偏微分方程普遍存在于社会问题中，高效的数值方法可使非线性模型更广泛地应用于实际问题的模拟，谱方法/谱元法已经被广泛应用于非线性偏微分方程求解。我们在偏微方程的耦合Legendre Chebyshev最小二乘法方面取得一定成果，数值实验显示该方法是有效的。本项目应用最小二乘谱方法求解非线性偏微分方程以及相关的含间断性问题，主要设计具有快速计算和稳定性等特点的格式，以及对格式的强制性和连续性，以及最优的误差估计进行分析。另外，对间断性问题，发展多区域谱逼近格式。进一步根据后验误差估计给出指示量，结合三角单元与矩形单元，设计hp自适应谱元素法。我们最终目的是将该方法应用到量子力学、流体力学等领域的非线性模型的计算，其非线性，给计算带来了麻烦及增加数值分析的难度。计算中用快速变换等技巧，设计快速计算算法，减少计算量、提高计算效率与可靠性。

基于谱方法在间断性模型的计算和时间方向的谱方法等的研究，本项目给出了一些有意义的理论成果。. 首先，对非一致介质一维Maxwell方程，给出了可并行实施的多区域Legendre谱方法以及稳定性和收敛性分析。发展了间断系数两点边值方程的多区域LGCC最小二乘法，给出了强制性和连续性分析，以及误差估计；计算中，采用Chebyshev插值，实现快速算法；分析了该方法对高阶导数项含变系数一维线性方程的数值分析理论，且将其用于间断变系数抛物型和二维椭圆方程的计算。建立了最小二乘三角单元Legendre数值积分法。利用极条件，构造了谱逼近空间和建立拟插值算子，发展了三棱柱谱元素法及其收敛性分析。. 其次，设计了非线性模型的时空LTG谱配置法，给出源项满足两类Lipschitz条件情况下的误差估计；得到了多区间LTG谱配置格式以及其误差估计理论；数值例子说明给出的方法计算在时间方向达到高阶谱精度，且具有一定的优势；并用于Burgers方程、KdV方程、以及空间两维非线性对流扩散方程等计算。. 同时，对PNP方程的有限元方法方面，给出了一种残量型的后验误差估计子；利用梯度恢复算子，建立了一类稳态的PNP方程的静电势和浓度后验误差估计的上界与下界；并将该结论推广到非线性稳态PNP模型，给出了分片有限元逼近的误差估计和超收敛分析。. 综上所述，本项目对谱方法的研究和发展作了一些补充工作；我们取得了一些研究成果，尤其，在2020年发表的关于LTG谱配置的文章已得到关注引用。总体来说，我们已按照计划完成研究目标。

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