有限p群的正规化子

Finite p-groups play an important and basic role in the finite group theory. After the classification of finite simple groups is finally completed, the study of finite p-groups becomes more and more active. However, the finite p-groups are so complicated that it is quite difficult to give a complete classification of all non-isomorphic p-groups. So to study p-groups by the normality of the subgroups becomes one of topics in finite p-groups. . In this project, we characterize subgroup' normality by its normalizer and then study the relationship between normalizers and finite p-groups. On the one hand, we study the finite p-groups with large normalizers. On the other hand, we investigate the structure of finite p-groups when the normalizers of some subgroups are small. After the above work, we will do further exploration and research to reveal the intrinsic link between normal closures and normalizers.

有限p群是有限群最基本和最重要的分支之一. 近年来,随着有限单群分类的最终完成, 有限p群的研究才变得越来越活跃.但是有限p群的一般同构分类问题是十分困难的. 这是因为p群的结构相当复杂. 于是在有限p 群的研究领域中,用子群的正规性来研究大群的结构成为重要的研究课题之一。. 本项目研究用子群的正规化子来刻画其正规性，研究正规化子与有限p群的关系以及正规化子与正规闭包之间的联系。首先研究在限定子群正规化子较大的前提下，研究有限p群的性质。然后研究具有较小正规化子的有限p群的结构。最后对正规化子和正规闭包之间的关系做进一步探讨。

研究子群的某种正规性与有限群结构的关系是有限群的重要课题之一。著名的 Dedekind 群就是每个子群都正规的群。在分类无限 Dedekind 群时，群的一个特征子群 norm 起着非常重要的作用。 群G的norm指的是所有子群的正规化子的交。 我们研究了所有的次正规子群导群的正规化子的交和所有的非次正规子群导群的正规化子的交的性质。证明了所有的非次正规子群导群的正规化子的交是可解群，所有非次正规子群导群的正规化子的交为1的充分必要条件是 G 导群在G中的中心化子为1 等结论。. 有限p群是有限群最基本和最重要的分支之一. 但是有限p群的一般同构分类问题是十分困难的. 这是因为p群的结构相当复杂. 所以如何选择合适的群类非常重要！我们从一类特殊的正规子群出发研究p群结构。 给出了有且只有一个给定阶的循环子群的有限p 群的两个等价条件。证明了当特定阶唯一循环子群阶大于p^3时，G 有且只有一个给定阶的循环子群的有限p 群当且仅当G为极大类2群，当且仅当p^3阶交换子群唯一。

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